Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83640 / 20344
↖ ↑ ↗
← N 76.925585°
E 49.724121°		 ← 69.09 m → N 76.925585°
E 49.726868°		 →
↑
69.13 m
↓
↑
69.13 m
↓
N 76.924963°
E 49.724121°		 ← 69.10 m →
4 776 m²		 N 76.924963°
E 49.726868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638126373291016 y=0.155216217041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638126373291016 × 217)
    floor (0.638126373291016 × 131072)
    floor (83640.5)     		tx = 83640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155216217041016 × 217)
    floor (0.155216217041016 × 131072)
    floor (20344.5)     		ty = 20344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83640 / 20344 ti = "17/83640/20344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83640/20344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83640 ÷ 217
    83640 ÷ 131072     		x = 0.63812255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20344 ÷ 217
    20344 ÷ 131072     		y = 0.15521240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63812255859375 × 2 - 1) × π
    0.2762451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86784963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15521240234375 × 2 - 1) × π
    0.6895751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16636436762958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86784963} λ = 0.86784963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16636436762958))-π/2
    2×atan(8.72649995241285)-π/2
    2×1.4567005322116-π/2
    2.9134010644232-1.57079632675     		φ = 1.34260474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86784963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.724121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34260474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.925585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83640 KachelY 20344 0.86784963 1.34260474 49.724121 76.925585
    Oben rechts KachelX + 1 83641 KachelY 20344 0.86789757 1.34260474 49.726868 76.925585
    Unten links KachelX 83640 KachelY + 1 20345 0.86784963 1.34259389 49.724121 76.924963
    Unten rechts KachelX + 1 83641 KachelY + 1 20345 0.86789757 1.34259389 49.726868 76.924963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34260474-1.34259389) × R
    1.08500000000067e-05 × 6371000     		dl = 69.1253500000426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34260474-1.34259389) × R
    1.08500000000067e-05 × 6371000     		dr = 69.1253500000426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86784963-0.86789757) × cos(1.34260474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226216360544837 × 6371000     		do = 69.0922993194685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86784963-0.86789757) × cos(1.34259389) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226226929267842 × 6371000     		du = 69.0955272795131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34260474)-sin(1.34259389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226216360544837-0.226226929267842)×R²
    abs(0.86789757-0.86784963)×1.05687230048945e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05687230048945e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05687230048945e-05×40589641000000     		ar = 4776.1409397483m²