Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83638 / 20038
↖ ↑ ↗
← N 77.114358°
E 49.718628°		 ← 68.10 m → N 77.114358°
E 49.721374°		 →
↑
68.11 m
↓
↑
68.11 m
↓
N 77.113745°
E 49.718628°		 ← 68.10 m →
4 638 m²		 N 77.113745°
E 49.721374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638111114501953 y=0.152881622314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638111114501953 × 217)
    floor (0.638111114501953 × 131072)
    floor (83638.5)     		tx = 83638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152881622314453 × 217)
    floor (0.152881622314453 × 131072)
    floor (20038.5)     		ty = 20038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83638 / 20038 ti = "17/83638/20038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83638/20038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83638 ÷ 217
    83638 ÷ 131072     		x = 0.638107299804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20038 ÷ 217
    20038 ÷ 131072     		y = 0.152877807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638107299804688 × 2 - 1) × π
    0.276214599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.86775376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152877807617188 × 2 - 1) × π
    0.694244384765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.18103305891331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86775376} λ = 0.86775376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18103305891331))-π/2
    2×atan(8.85544973631371)-π/2
    2×1.45834788114759-π/2
    2.91669576229517-1.57079632675     		φ = 1.34589944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86775376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.718628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34589944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.114358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83638 KachelY 20038 0.86775376 1.34589944 49.718628 77.114358
    Oben rechts KachelX + 1 83639 KachelY 20038 0.86780169 1.34589944 49.721374 77.114358
    Unten links KachelX 83638 KachelY + 1 20039 0.86775376 1.34588875 49.718628 77.113745
    Unten rechts KachelX + 1 83639 KachelY + 1 20039 0.86780169 1.34588875 49.721374 77.113745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34589944-1.34588875) × R
    1.06899999998689e-05 × 6371000     		dl = 68.1059899991645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34589944-1.34588875) × R
    1.06899999998689e-05 × 6371000     		dr = 68.1059899991645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86775376-0.86780169) × cos(1.34589944) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.223005846801157 × 6371000     		do = 68.0975180809543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86775376-0.86780169) × cos(1.34588875) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.22301626758329 × 6371000     		du = 68.1007001921405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34589944)-sin(1.34588875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223005846801157-0.22301626758329)×R²
    abs(0.86780169-0.86775376)×1.04207821324254e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.04207821324254e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.04207821324254e-05×40589641000000     		ar = 4637.95724590038m²