Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83637 / 20069
↖ ↑ ↗
← N 77.095356°
E 49.715881°		 ← 68.21 m → N 77.095356°
E 49.718628°		 →
↑
68.23 m
↓
↑
68.23 m
↓
N 77.094742°
E 49.715881°		 ← 68.21 m →
4 654 m²		 N 77.094742°
E 49.718628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638103485107422 y=0.153118133544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638103485107422 × 217)
    floor (0.638103485107422 × 131072)
    floor (83637.5)     		tx = 83637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153118133544922 × 217)
    floor (0.153118133544922 × 131072)
    floor (20069.5)     		ty = 20069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83637 / 20069 ti = "17/83637/20069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83637/20069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83637 ÷ 217
    83637 ÷ 131072     		x = 0.638099670410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20069 ÷ 217
    20069 ÷ 131072     		y = 0.153114318847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638099670410156 × 2 - 1) × π
    0.276199340820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.86770582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153114318847656 × 2 - 1) × π
    0.693771362304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.17954701502509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86770582} λ = 0.86770582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17954701502509))-π/2
    2×atan(8.84229992237585)-π/2
    2×1.45818206283458-π/2
    2.91636412566915-1.57079632675     		φ = 1.34556780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86770582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.715881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34556780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.095356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83637 KachelY 20069 0.86770582 1.34556780 49.715881 77.095356
    Oben rechts KachelX + 1 83638 KachelY 20069 0.86775376 1.34556780 49.718628 77.095356
    Unten links KachelX 83637 KachelY + 1 20070 0.86770582 1.34555709 49.715881 77.094742
    Unten rechts KachelX + 1 83638 KachelY + 1 20070 0.86775376 1.34555709 49.718628 77.094742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34556780-1.34555709) × R
    1.07099999999694e-05 × 6371000     		dl = 68.2334099998048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34556780-1.34555709) × R
    1.07099999999694e-05 × 6371000     		dr = 68.2334099998048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86770582-0.86775376) × cos(1.34556780) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.22332912287697 × 6371000     		do = 68.2104626183629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86770582-0.86775376) × cos(1.34555709) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.223339562362718 × 6371000     		du = 68.2136511060226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34556780)-sin(1.34555709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22332912287697-0.223339562362718)×R²
    abs(0.86775376-0.86770582)×1.04394857477763e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.04394857477763e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.04394857477763e-05×40589641000000     		ar = 4654.34124295918m²