Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83636 / 20460
↖ ↑ ↗
← N 76.853316°
E 49.713135°		 ← 69.47 m → N 76.853316°
E 49.715881°		 →
↑
69.51 m
↓
↑
69.51 m
↓
N 76.852691°
E 49.713135°		 ← 69.47 m →
4 829 m²		 N 76.852691°
E 49.715881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638095855712891 y=0.156101226806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638095855712891 × 217)
    floor (0.638095855712891 × 131072)
    floor (83636.5)     		tx = 83636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156101226806641 × 217)
    floor (0.156101226806641 × 131072)
    floor (20460.5)     		ty = 20460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83636 / 20460 ti = "17/83636/20460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83636/20460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83636 ÷ 217
    83636 ÷ 131072     		x = 0.638092041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20460 ÷ 217
    20460 ÷ 131072     		y = 0.156097412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638092041015625 × 2 - 1) × π
    0.27618408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86765788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156097412109375 × 2 - 1) × π
    0.68780517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16080368727365
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86765788} λ = 0.86765788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16080368727365))-π/2
    2×atan(8.67810934259929)-π/2
    2×1.45606986746985-π/2
    2.9121397349397-1.57079632675     		φ = 1.34134341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86765788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.713135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34134341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.853316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83636 KachelY 20460 0.86765788 1.34134341 49.713135 76.853316
    Oben rechts KachelX + 1 83637 KachelY 20460 0.86770582 1.34134341 49.715881 76.853316
    Unten links KachelX 83636 KachelY + 1 20461 0.86765788 1.34133250 49.713135 76.852691
    Unten rechts KachelX + 1 83637 KachelY + 1 20461 0.86770582 1.34133250 49.715881 76.852691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34134341-1.34133250) × R
    1.09099999998641e-05 × 6371000     		dl = 69.5076099991341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34134341-1.34133250) × R
    1.09099999998641e-05 × 6371000     		dr = 69.5076099991341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86765788-0.86770582) × cos(1.34134341) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22744481291284 × 6371000     		do = 69.4675002930201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86765788-0.86770582) × cos(1.34133250) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227455436958807 × 6371000     		du = 69.4707451501216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34134341)-sin(1.34133250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22744481291284-0.227455436958807)×R²
    abs(0.86770582-0.86765788)×1.06240459676332e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06240459676332e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06240459676332e-05×40589641000000     		ar = 4828.63268910471m²