Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83632 / 19921
↖ ↑ ↗
← N 77.185825°
E 49.702149°		 ← 67.73 m → N 77.185825°
E 49.704895°		 →
↑
67.79 m
↓
↑
67.79 m
↓
N 77.185215°
E 49.702149°		 ← 67.73 m →
4 591 m²		 N 77.185215°
E 49.704895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638065338134766 y=0.151988983154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638065338134766 × 217)
    floor (0.638065338134766 × 131072)
    floor (83632.5)     		tx = 83632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151988983154297 × 217)
    floor (0.151988983154297 × 131072)
    floor (19921.5)     		ty = 19921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83632 / 19921 ti = "17/83632/19921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83632/19921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83632 ÷ 217
    83632 ÷ 131072     		x = 0.6380615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19921 ÷ 217
    19921 ÷ 131072     		y = 0.151985168457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6380615234375 × 2 - 1) × π
    0.276123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86746614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151985168457031 × 2 - 1) × π
    0.696029663085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.18664167616886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86746614} λ = 0.86746614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18664167616886))-π/2
    2×atan(8.90525610638226)-π/2
    2×1.45897155174332-π/2
    2.91794310348663-1.57079632675     		φ = 1.34714678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86746614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.702149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34714678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.185825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83632 KachelY 19921 0.86746614 1.34714678 49.702149 77.185825
    Oben rechts KachelX + 1 83633 KachelY 19921 0.86751407 1.34714678 49.704895 77.185825
    Unten links KachelX 83632 KachelY + 1 19922 0.86746614 1.34713614 49.702149 77.185215
    Unten rechts KachelX + 1 83633 KachelY + 1 19922 0.86751407 1.34713614 49.704895 77.185215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34714678-1.34713614) × R
    1.06400000001727e-05 × 6371000     		dl = 67.7874400011005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34714678-1.34713614) × R
    1.06400000001727e-05 × 6371000     		dr = 67.7874400011005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86746614-0.86751407) × cos(1.34714678) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.2217897452635 × 6371000     		do = 67.7261668468868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86746614-0.86751407) × cos(1.34713614) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.221800120256562 × 6371000     		du = 67.7293349758294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34714678)-sin(1.34713614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2217897452635-0.221800120256562)×R²
    abs(0.86751407-0.86746614)×1.03749930618346e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.03749930618346e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.03749930618346e-05×40589641000000     		ar = 4591.09085133061m²