Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83630 / 20294
N 76.956615°
E 49.696655°
← 68.93 m → N 76.956615°
E 49.699402°

68.93 m

68.93 m
N 76.955995°
E 49.696655°
← 68.93 m →
4 752 m²
N 76.955995°
E 49.699402°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638050079345703 y=0.154834747314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638050079345703 × 217)
    floor (0.638050079345703 × 131072)
    floor (83630.5)
    tx = 83630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154834747314453 × 217)
    floor (0.154834747314453 × 131072)
    floor (20294.5)
    ty = 20294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83630 / 20294 ti = "17/83630/20294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83630/20294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83630 ÷ 217
    83630 ÷ 131072
    x = 0.638046264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20294 ÷ 217
    20294 ÷ 131072
    y = 0.154830932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.638046264648438 × 2 - 1) × π
    0.276092529296875 × 3.1415926535
    Λ = 0.86737026
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.154830932617188 × 2 - 1) × π
    0.690338134765625 × 3.1415926535
    Φ = 2.16876121261058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86737026} λ = 0.86737026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16876121261058))-π/2
    2×atan(8.74744110635003)-π/2
    2×1.45697131874805-π/2
    2.9139426374961-1.57079632675
    φ = 1.34314631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86737026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.696655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34314631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.956615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83630 KachelY 20294 0.86737026 1.34314631 49.696655 76.956615
    Oben rechts KachelX + 1 83631 KachelY 20294 0.86741820 1.34314631 49.699402 76.956615
    Unten links KachelX 83630 KachelY + 1 20295 0.86737026 1.34313549 49.696655 76.955995
    Unten rechts KachelX + 1 83631 KachelY + 1 20295 0.86741820 1.34313549 49.699402 76.955995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.34314631-1.34313549) × R
    1.0819999999967e-05 × 6371000
    dl = 68.9342199997895m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.34314631-1.34313549) × R
    1.0819999999967e-05 × 6371000
    dr = 68.9342199997895m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.86737026-0.86741820) × cos(1.34314631) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.225688796471877 × 6371000
    do = 68.9311676722469m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.86737026-0.86741820) × cos(1.34313549) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.225699337296708 × 6371000
    du = 68.9343871114711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.34314631)-sin(1.34313549))×
    abs(λ12)×abs(0.225688796471877-0.225699337296708)×
    abs(0.86741820-0.86737026)×1.05408248309569e-05×
    4.79400000000796e-05×1.05408248309569e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.05408248309569e-05×40589641000000
    ar = 4751.82724197402m²