Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8363 / 24888
↖ ↑ ↗
← N 39.673370°
W134.060669°		 ← 470.12 m → N 39.673370°
W134.055176°		 →
↑
470.18 m
↓
↑
470.18 m
↓
N 39.669142°
W134.060669°		 ← 470.15 m →
221 048 m²		 N 39.669142°
W134.055176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127616882324219 y=0.379768371582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127616882324219 × 216)
    floor (0.127616882324219 × 65536)
    floor (8363.5)     		tx = 8363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379768371582031 × 216)
    floor (0.379768371582031 × 65536)
    floor (24888.5)     		ty = 24888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8363 / 24888 ti = "16/8363/24888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8363/24888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8363 ÷ 216
    8363 ÷ 65536     		x = 0.127609252929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24888 ÷ 216
    24888 ÷ 65536     		y = 0.3797607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127609252929688 × 2 - 1) × π
    -0.744781494140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33980007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3797607421875 × 2 - 1) × π
    0.240478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.755485538012085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33980007} λ = -2.33980007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.755485538012085))-π/2
    2×atan(2.12864481045462)-π/2
    2×1.13161363273891-π/2
    2.26322726547782-1.57079632675     		φ = 0.69243094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33980007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.060669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69243094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.673370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8363 KachelY 24888 -2.33980007 0.69243094 -134.060669 39.673370
    Oben rechts KachelX + 1 8364 KachelY 24888 -2.33970420 0.69243094 -134.055176 39.673370
    Unten links KachelX 8363 KachelY + 1 24889 -2.33980007 0.69235714 -134.060669 39.669142
    Unten rechts KachelX + 1 8364 KachelY + 1 24889 -2.33970420 0.69235714 -134.055176 39.669142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69243094-0.69235714) × R
    7.38000000000127e-05 × 6371000     		dl = 470.179800000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69243094-0.69235714) × R
    7.38000000000127e-05 × 6371000     		dr = 470.179800000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33980007--2.33970420) × cos(0.69243094) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.769696353997196 × 6371000     		do = 470.121119635067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33980007--2.33970420) × cos(0.69235714) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.769743466570345 × 6371000     		du = 470.14989541856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69243094)-sin(0.69235714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769696353997196-0.769743466570345)×R²
    abs(-2.33970420--2.33980007)×4.71125731493771e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71125731493771e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71125731493771e-05×40589641000000     		ar = 221048.219002377m²