Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83628 / 20292
↖ ↑ ↗
← N 76.957855°
E 49.691162°		 ← 68.91 m → N 76.957855°
E 49.693908°		 →
↑
68.93 m
↓
↑
68.93 m
↓
N 76.957235°
E 49.691162°		 ← 68.91 m →
4 750 m²		 N 76.957235°
E 49.693908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638034820556641 y=0.154819488525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638034820556641 × 217)
    floor (0.638034820556641 × 131072)
    floor (83628.5)     		tx = 83628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154819488525391 × 217)
    floor (0.154819488525391 × 131072)
    floor (20292.5)     		ty = 20292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83628 / 20292 ti = "17/83628/20292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83628/20292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83628 ÷ 217
    83628 ÷ 131072     		x = 0.638031005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20292 ÷ 217
    20292 ÷ 131072     		y = 0.154815673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638031005859375 × 2 - 1) × π
    0.27606201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86727439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154815673828125 × 2 - 1) × π
    0.69036865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16885708640982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86727439} λ = 0.86727439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16885708640982))-π/2
    2×atan(8.74827979696611)-π/2
    2×1.45698213706397-π/2
    2.91396427412794-1.57079632675     		φ = 1.34316795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86727439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.691162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34316795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.957855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83628 KachelY 20292 0.86727439 1.34316795 49.691162 76.957855
    Oben rechts KachelX + 1 83629 KachelY 20292 0.86732232 1.34316795 49.693908 76.957855
    Unten links KachelX 83628 KachelY + 1 20293 0.86727439 1.34315713 49.691162 76.957235
    Unten rechts KachelX + 1 83629 KachelY + 1 20293 0.86732232 1.34315713 49.693908 76.957235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34316795-1.34315713) × R
    1.0819999999967e-05 × 6371000     		dl = 68.9342199997895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34316795-1.34315713) × R
    1.0819999999967e-05 × 6371000     		dr = 68.9342199997895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86727439-0.86732232) × cos(1.34316795) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.225667714742951 × 6371000     		do = 68.9103514794105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86727439-0.86732232) × cos(1.34315713) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.225678255620624 × 6371000     		du = 68.9135702632149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34316795)-sin(1.34315713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225667714742951-0.225678255620624)×R²
    abs(0.86732232-0.86727439)×1.05408776735483e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.05408776735483e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.05408776735483e-05×40589641000000     		ar = 4750.39227144672m²