Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83627 / 20291
↖ ↑ ↗
← N 76.958474°
E 49.688415°		 ← 68.92 m → N 76.958474°
E 49.691162°		 →
↑
68.87 m
↓
↑
68.87 m
↓
N 76.957855°
E 49.688415°		 ← 68.92 m →
4 747 m²		 N 76.957855°
E 49.691162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638027191162109 y=0.154811859130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638027191162109 × 217)
    floor (0.638027191162109 × 131072)
    floor (83627.5)     		tx = 83627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154811859130859 × 217)
    floor (0.154811859130859 × 131072)
    floor (20291.5)     		ty = 20291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83627 / 20291 ti = "17/83627/20291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83627/20291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83627 ÷ 217
    83627 ÷ 131072     		x = 0.638023376464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20291 ÷ 217
    20291 ÷ 131072     		y = 0.154808044433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638023376464844 × 2 - 1) × π
    0.276046752929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.86722645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154808044433594 × 2 - 1) × π
    0.690383911132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.16890502330944
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86722645} λ = 0.86722645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16890502330944))-π/2
    2×atan(8.74869917242829)-π/2
    2×1.45698754584303-π/2
    2.91397509168606-1.57079632675     		φ = 1.34317876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86722645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.688415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34317876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.958474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83627 KachelY 20291 0.86722645 1.34317876 49.688415 76.958474
    Oben rechts KachelX + 1 83628 KachelY 20291 0.86727439 1.34317876 49.691162 76.958474
    Unten links KachelX 83627 KachelY + 1 20292 0.86722645 1.34316795 49.688415 76.957855
    Unten rechts KachelX + 1 83628 KachelY + 1 20292 0.86727439 1.34316795 49.691162 76.957855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34317876-1.34316795) × R
    1.08100000000277e-05 × 6371000     		dl = 68.8705100001768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34317876-1.34316795) × R
    1.08100000000277e-05 × 6371000     		dr = 68.8705100001768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86722645-0.86727439) × cos(1.34317876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225657183580925 × 6371000     		do = 68.9215122814748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86722645-0.86727439) × cos(1.34316795) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225667714742951 × 6371000     		du = 68.9247287694294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34317876)-sin(1.34316795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225657183580925-0.225667714742951)×R²
    abs(0.86727439-0.86722645)×1.05311620253734e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05311620253734e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05311620253734e-05×40589641000000     		ar = 4746.77046144091m²