Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83626 / 20290
↖ ↑ ↗
← N 76.959094°
E 49.685669°		 ← 68.92 m → N 76.959094°
E 49.688415°		 →
↑
68.93 m
↓
↑
68.93 m
↓
N 76.958474°
E 49.685669°		 ← 68.92 m →
4 751 m²		 N 76.958474°
E 49.688415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638019561767578 y=0.154804229736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638019561767578 × 217)
    floor (0.638019561767578 × 131072)
    floor (83626.5)     		tx = 83626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154804229736328 × 217)
    floor (0.154804229736328 × 131072)
    floor (20290.5)     		ty = 20290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83626 / 20290 ti = "17/83626/20290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83626/20290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83626 ÷ 217
    83626 ÷ 131072     		x = 0.638015747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20290 ÷ 217
    20290 ÷ 131072     		y = 0.154800415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638015747070312 × 2 - 1) × π
    0.276031494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86717851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154800415039062 × 2 - 1) × π
    0.690399169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16895296020906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86717851} λ = 0.86717851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16895296020906))-π/2
    2×atan(8.7491185679945)-π/2
    2×1.45699295436951-π/2
    2.91398590873901-1.57079632675     		φ = 1.34318958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86717851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.685669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34318958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.959094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83626 KachelY 20290 0.86717851 1.34318958 49.685669 76.959094
    Oben rechts KachelX + 1 83627 KachelY 20290 0.86722645 1.34318958 49.688415 76.959094
    Unten links KachelX 83626 KachelY + 1 20291 0.86717851 1.34317876 49.685669 76.958474
    Unten rechts KachelX + 1 83627 KachelY + 1 20291 0.86722645 1.34317876 49.688415 76.958474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34318958-1.34317876) × R
    1.0819999999967e-05 × 6371000     		dl = 68.9342199997895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34318958-1.34317876) × R
    1.0819999999967e-05 × 6371000     		dr = 68.9342199997895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86717851-0.86722645) × cos(1.34318958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225646642650439 × 6371000     		do = 68.9182928099806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86717851-0.86722645) × cos(1.34317876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225657183580925 × 6371000     		du = 68.9215122814748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34318958)-sin(1.34317876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225646642650439-0.225657183580925)×R²
    abs(0.86722645-0.86717851)×1.05409304868298e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05409304868298e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05409304868298e-05×40589641000000     		ar = 4750.93972441075m²