Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83625 / 20289
↖ ↑ ↗
← N 76.959714°
E 49.682923°		 ← 68.90 m → N 76.959714°
E 49.685669°		 →
↑
68.93 m
↓
↑
68.93 m
↓
N 76.959094°
E 49.682923°		 ← 68.90 m →
4 750 m²		 N 76.959094°
E 49.685669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638011932373047 y=0.154796600341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638011932373047 × 217)
    floor (0.638011932373047 × 131072)
    floor (83625.5)     		tx = 83625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154796600341797 × 217)
    floor (0.154796600341797 × 131072)
    floor (20289.5)     		ty = 20289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83625 / 20289 ti = "17/83625/20289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83625/20289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83625 ÷ 217
    83625 ÷ 131072     		x = 0.638008117675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20289 ÷ 217
    20289 ÷ 131072     		y = 0.154792785644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638008117675781 × 2 - 1) × π
    0.276016235351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.86713058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154792785644531 × 2 - 1) × π
    0.690414428710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.16900089710868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86713058} λ = 0.86713058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16900089710868))-π/2
    2×atan(8.74953798366572)-π/2
    2×1.4569983626434-π/2
    2.91399672528681-1.57079632675     		φ = 1.34320040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86713058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.682923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34320040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.959714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83625 KachelY 20289 0.86713058 1.34320040 49.682923 76.959714
    Oben rechts KachelX + 1 83626 KachelY 20289 0.86717851 1.34320040 49.685669 76.959714
    Unten links KachelX 83625 KachelY + 1 20290 0.86713058 1.34318958 49.682923 76.959094
    Unten rechts KachelX + 1 83626 KachelY + 1 20290 0.86717851 1.34318958 49.685669 76.959094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34320040-1.34318958) × R
    1.0819999999967e-05 × 6371000     		dl = 68.9342199997895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34320040-1.34318958) × R
    1.0819999999967e-05 × 6371000     		dr = 68.9342199997895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86713058-0.86717851) × cos(1.34320040) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.225636101693535 × 6371000     		do = 68.9006980544663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86713058-0.86717851) × cos(1.34318958) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.225646642650439 × 6371000     		du = 68.9039168624647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34320040)-sin(1.34318958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225636101693535-0.225646642650439)×R²
    abs(0.86717851-0.86713058)×1.0540956903865e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0540956903865e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0540956903865e-05×40589641000000     		ar = 4749.72682083636m²