Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83624 / 20440
↖ ↑ ↗
← N 76.865804°
E 49.680176°		 ← 69.40 m → N 76.865804°
E 49.682923°		 →
↑
69.44 m
↓
↑
69.44 m
↓
N 76.865180°
E 49.680176°		 ← 69.41 m →
4 820 m²		 N 76.865180°
E 49.682923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638004302978516 y=0.155948638916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638004302978516 × 217)
    floor (0.638004302978516 × 131072)
    floor (83624.5)     		tx = 83624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155948638916016 × 217)
    floor (0.155948638916016 × 131072)
    floor (20440.5)     		ty = 20440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83624 / 20440 ti = "17/83624/20440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83624/20440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83624 ÷ 217
    83624 ÷ 131072     		x = 0.63800048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20440 ÷ 217
    20440 ÷ 131072     		y = 0.15594482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63800048828125 × 2 - 1) × π
    0.2760009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86708264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15594482421875 × 2 - 1) × π
    0.6881103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16176242526605
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86708264} λ = 0.86708264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16176242526605))-π/2
    2×atan(8.68643336536908)-π/2
    2×1.45617884658158-π/2
    2.91235769316316-1.57079632675     		φ = 1.34156137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86708264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.680176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34156137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.865804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83624 KachelY 20440 0.86708264 1.34156137 49.680176 76.865804
    Oben rechts KachelX + 1 83625 KachelY 20440 0.86713058 1.34156137 49.682923 76.865804
    Unten links KachelX 83624 KachelY + 1 20441 0.86708264 1.34155047 49.680176 76.865180
    Unten rechts KachelX + 1 83625 KachelY + 1 20441 0.86713058 1.34155047 49.682923 76.865180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34156137-1.34155047) × R
    1.08999999999249e-05 × 6371000     		dl = 69.4438999995213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34156137-1.34155047) × R
    1.08999999999249e-05 × 6371000     		dr = 69.4438999995213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86708264-0.86713058) × cos(1.34156137) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22723256003171 × 6371000     		do = 69.4026727997341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86708264-0.86713058) × cos(1.34155047) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227243174879909 × 6371000     		du = 69.4059148476001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34156137)-sin(1.34155047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22723256003171-0.227243174879909)×R²
    abs(0.86713058-0.86708264)×1.0614848198448e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0614848198448e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0614848198448e-05×40589641000000     		ar = 4819.70483979088m²