Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83622 / 20501
↖ ↑ ↗
← N 76.827679°
E 49.674683°		 ← 69.59 m → N 76.827679°
E 49.677429°		 →
↑
69.64 m
↓
↑
69.64 m
↓
N 76.827053°
E 49.674683°		 ← 69.59 m →
4 846 m²		 N 76.827053°
E 49.677429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637989044189453 y=0.156414031982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637989044189453 × 217)
    floor (0.637989044189453 × 131072)
    floor (83622.5)     		tx = 83622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156414031982422 × 217)
    floor (0.156414031982422 × 131072)
    floor (20501.5)     		ty = 20501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83622 / 20501 ti = "17/83622/20501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83622/20501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83622 ÷ 217
    83622 ÷ 131072     		x = 0.637985229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20501 ÷ 217
    20501 ÷ 131072     		y = 0.156410217285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637985229492188 × 2 - 1) × π
    0.275970458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.86698677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156410217285156 × 2 - 1) × π
    0.687179565429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.15883827438923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86698677} λ = 0.86698677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15883827438923))-π/2
    2×atan(8.6610700248173)-π/2
    2×1.45584614196666-π/2
    2.91169228393332-1.57079632675     		φ = 1.34089596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86698677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.674683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34089596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.827679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83622 KachelY 20501 0.86698677 1.34089596 49.674683 76.827679
    Oben rechts KachelX + 1 83623 KachelY 20501 0.86703470 1.34089596 49.677429 76.827679
    Unten links KachelX 83622 KachelY + 1 20502 0.86698677 1.34088503 49.674683 76.827053
    Unten rechts KachelX + 1 83623 KachelY + 1 20502 0.86703470 1.34088503 49.677429 76.827053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34089596-1.34088503) × R
    1.09300000001866e-05 × 6371000     		dl = 69.635030001189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34089596-1.34088503) × R
    1.09300000001866e-05 × 6371000     		dr = 69.635030001189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86698677-0.86703470) × cos(1.34089596) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.227880512900172 × 6371000     		do = 69.5860560166803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86698677-0.86703470) × cos(1.34088503) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.22789115530847 × 6371000     		du = 69.5893058040823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34089596)-sin(1.34088503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227880512900172-0.22789115530847)×R²
    abs(0.86703470-0.86698677)×1.06424082981504e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.06424082981504e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.06424082981504e-05×40589641000000     		ar = 4845.74024800681m²