Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83620 / 19956
↖ ↑ ↗
← N 77.164487°
E 49.669189°		 ← 67.85 m → N 77.164487°
E 49.671936°		 →
↑
67.85 m
↓
↑
67.85 m
↓
N 77.163877°
E 49.669189°		 ← 67.85 m →
4 604 m²		 N 77.163877°
E 49.671936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637973785400391 y=0.152256011962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637973785400391 × 217)
    floor (0.637973785400391 × 131072)
    floor (83620.5)     		tx = 83620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152256011962891 × 217)
    floor (0.152256011962891 × 131072)
    floor (19956.5)     		ty = 19956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83620 / 19956 ti = "17/83620/19956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83620/19956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83620 ÷ 217
    83620 ÷ 131072     		x = 0.637969970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19956 ÷ 217
    19956 ÷ 131072     		y = 0.152252197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637969970703125 × 2 - 1) × π
    0.27593994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86689089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152252197265625 × 2 - 1) × π
    0.69549560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18496388468216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86689089} λ = 0.86689089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18496388468216))-π/2
    2×atan(8.89032747057109)-π/2
    2×1.45878534099234-π/2
    2.91757068198467-1.57079632675     		φ = 1.34677436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86689089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.669189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34677436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.164487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83620 KachelY 19956 0.86689089 1.34677436 49.669189 77.164487
    Oben rechts KachelX + 1 83621 KachelY 19956 0.86693883 1.34677436 49.671936 77.164487
    Unten links KachelX 83620 KachelY + 1 19957 0.86689089 1.34676371 49.669189 77.163877
    Unten rechts KachelX + 1 83621 KachelY + 1 19957 0.86693883 1.34676371 49.671936 77.163877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34677436-1.34676371) × R
    1.06499999998899e-05 × 6371000     		dl = 67.8511499992986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34677436-1.34676371) × R
    1.06499999998899e-05 × 6371000     		dr = 67.8511499992986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86689089-0.86693883) × cos(1.34677436) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.222152874572816 × 6371000     		do = 67.8512061096421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86689089-0.86693883) × cos(1.34676371) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.222163258436379 × 6371000     		du = 67.8543776088551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34677436)-sin(1.34676371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222152874572816-0.222163258436379)×R²
    abs(0.86693883-0.86689089)×1.038386356364e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.038386356364e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.038386356364e-05×40589641000000     		ar = 4603.88995820191m²