Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83619 / 20498
↖ ↑ ↗
← N 76.829557°
E 49.666443°		 ← 69.58 m → N 76.829557°
E 49.669189°		 →
↑
69.64 m
↓
↑
69.64 m
↓
N 76.828931°
E 49.666443°		 ← 69.58 m →
4 845 m²		 N 76.828931°
E 49.669189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637966156005859 y=0.156391143798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637966156005859 × 217)
    floor (0.637966156005859 × 131072)
    floor (83619.5)     		tx = 83619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156391143798828 × 217)
    floor (0.156391143798828 × 131072)
    floor (20498.5)     		ty = 20498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83619 / 20498 ti = "17/83619/20498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83619/20498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83619 ÷ 217
    83619 ÷ 131072     		x = 0.637962341308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20498 ÷ 217
    20498 ÷ 131072     		y = 0.156387329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637962341308594 × 2 - 1) × π
    0.275924682617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.86684296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156387329101562 × 2 - 1) × π
    0.687225341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15898208508809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86684296} λ = 0.86684296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15898208508809))-π/2
    2×atan(8.66231566891677)-π/2
    2×1.45586252664759-π/2
    2.91172505329518-1.57079632675     		φ = 1.34092873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86684296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.666443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34092873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.829557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83619 KachelY 20498 0.86684296 1.34092873 49.666443 76.829557
    Oben rechts KachelX + 1 83620 KachelY 20498 0.86689089 1.34092873 49.669189 76.829557
    Unten links KachelX 83619 KachelY + 1 20499 0.86684296 1.34091780 49.666443 76.828931
    Unten rechts KachelX + 1 83620 KachelY + 1 20499 0.86689089 1.34091780 49.669189 76.828931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34092873-1.34091780) × R
    1.09299999999646e-05 × 6371000     		dl = 69.6350299997743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34092873-1.34091780) × R
    1.09299999999646e-05 × 6371000     		dr = 69.6350299997743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86684296-0.86689089) × cos(1.34092873) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.227848604985873 × 6371000     		do = 69.5763125510356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86684296-0.86689089) × cos(1.34091780) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.227859247475788 × 6371000     		du = 69.5795623633605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34092873)-sin(1.34091780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227848604985873-0.227859247475788)×R²
    abs(0.86689089-0.86684296)×1.06424899154745e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.06424899154745e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.06424899154745e-05×40589641000000     		ar = 4845.06176219602m²