Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83619 / 19958
↖ ↑ ↗
← N 77.163266°
E 49.666443°		 ← 67.84 m → N 77.163266°
E 49.669189°		 →
↑
67.85 m
↓
↑
67.85 m
↓
N 77.162656°
E 49.666443°		 ← 67.85 m →
4 603 m²		 N 77.162656°
E 49.669189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637966156005859 y=0.152271270751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637966156005859 × 217)
    floor (0.637966156005859 × 131072)
    floor (83619.5)     		tx = 83619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152271270751953 × 217)
    floor (0.152271270751953 × 131072)
    floor (19958.5)     		ty = 19958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83619 / 19958 ti = "17/83619/19958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83619/19958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83619 ÷ 217
    83619 ÷ 131072     		x = 0.637962341308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19958 ÷ 217
    19958 ÷ 131072     		y = 0.152267456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637962341308594 × 2 - 1) × π
    0.275924682617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.86684296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152267456054688 × 2 - 1) × π
    0.695465087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.18486801088292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86684296} λ = 0.86684296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18486801088292))-π/2
    2×atan(8.88947516195769)-π/2
    2×1.45877469117431-π/2
    2.91754938234862-1.57079632675     		φ = 1.34675306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86684296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.666443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34675306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.163266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83619 KachelY 19958 0.86684296 1.34675306 49.666443 77.163266
    Oben rechts KachelX + 1 83620 KachelY 19958 0.86689089 1.34675306 49.669189 77.163266
    Unten links KachelX 83619 KachelY + 1 19959 0.86684296 1.34674241 49.666443 77.162656
    Unten rechts KachelX + 1 83620 KachelY + 1 19959 0.86689089 1.34674241 49.669189 77.162656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34675306-1.34674241) × R
    1.06499999998899e-05 × 6371000     		dl = 67.8511499992986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34675306-1.34674241) × R
    1.06499999998899e-05 × 6371000     		dr = 67.8511499992986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86684296-0.86689089) × cos(1.34675306) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.222173642274745 × 6371000     		do = 67.8433944173943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86684296-0.86689089) × cos(1.34674241) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.222184026087911 × 6371000     		du = 67.8465652396618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34675306)-sin(1.34674241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222173642274745-0.222184026087911)×R²
    abs(0.86689089-0.86684296)×1.03838131658429e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.03838131658429e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.03838131658429e-05×40589641000000     		ar = 4603.35990290883m²