Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83617 / 20447
↖ ↑ ↗
← N 76.861435°
E 49.660950°		 ← 69.43 m → N 76.861435°
E 49.663696°		 →
↑
69.38 m
↓
↑
69.38 m
↓
N 76.860811°
E 49.660950°		 ← 69.43 m →
4 817 m²		 N 76.860811°
E 49.663696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637950897216797 y=0.156002044677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637950897216797 × 217)
    floor (0.637950897216797 × 131072)
    floor (83617.5)     		tx = 83617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156002044677734 × 217)
    floor (0.156002044677734 × 131072)
    floor (20447.5)     		ty = 20447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83617 / 20447 ti = "17/83617/20447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83617/20447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83617 ÷ 217
    83617 ÷ 131072     		x = 0.637947082519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20447 ÷ 217
    20447 ÷ 131072     		y = 0.155998229980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637947082519531 × 2 - 1) × π
    0.275894165039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.86674708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155998229980469 × 2 - 1) × π
    0.688003540039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.16142686696871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86674708} λ = 0.86674708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16142686696871))-π/2
    2×atan(8.68351904956781)-π/2
    2×1.45614071546564-π/2
    2.91228143093128-1.57079632675     		φ = 1.34148510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86674708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.660950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34148510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.861435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83617 KachelY 20447 0.86674708 1.34148510 49.660950 76.861435
    Oben rechts KachelX + 1 83618 KachelY 20447 0.86679502 1.34148510 49.663696 76.861435
    Unten links KachelX 83617 KachelY + 1 20448 0.86674708 1.34147421 49.660950 76.860811
    Unten rechts KachelX + 1 83618 KachelY + 1 20448 0.86679502 1.34147421 49.663696 76.860811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34148510-1.34147421) × R
    1.08900000002077e-05 × 6371000     		dl = 69.3801900013231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34148510-1.34147421) × R
    1.08900000002077e-05 × 6371000     		dr = 69.3801900013231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86674708-0.86679502) × cos(1.34148510) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227306834187386 × 6371000     		do = 69.4253580386942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86674708-0.86679502) × cos(1.34147421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227317439108434 × 6371000     		du = 69.428597054553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34148510)-sin(1.34147421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227306834187386-0.227317439108434)×R²
    abs(0.86679502-0.86674708)×1.0604921048124e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0604921048124e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0604921048124e-05×40589641000000     		ar = 4816.85689330268m²