Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83615 / 20475
↖ ↑ ↗
← N 76.843943°
E 49.655457°		 ← 69.52 m → N 76.843943°
E 49.658203°		 →
↑
69.51 m
↓
↑
69.51 m
↓
N 76.843318°
E 49.655457°		 ← 69.52 m →
4 832 m²		 N 76.843318°
E 49.658203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637935638427734 y=0.156215667724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637935638427734 × 217)
    floor (0.637935638427734 × 131072)
    floor (83615.5)     		tx = 83615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156215667724609 × 217)
    floor (0.156215667724609 × 131072)
    floor (20475.5)     		ty = 20475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83615 / 20475 ti = "17/83615/20475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83615/20475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83615 ÷ 217
    83615 ÷ 131072     		x = 0.637931823730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20475 ÷ 217
    20475 ÷ 131072     		y = 0.156211853027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637931823730469 × 2 - 1) × π
    0.275863647460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.86665121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156211853027344 × 2 - 1) × π
    0.687576293945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.16008463377935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86665121} λ = 0.86665121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16008463377935))-π/2
    2×atan(8.67187156067078)-π/2
    2×1.45598806634027-π/2
    2.91197613268054-1.57079632675     		φ = 1.34117981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86665121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.655457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34117981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.843943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83615 KachelY 20475 0.86665121 1.34117981 49.655457 76.843943
    Oben rechts KachelX + 1 83616 KachelY 20475 0.86669915 1.34117981 49.658203 76.843943
    Unten links KachelX 83615 KachelY + 1 20476 0.86665121 1.34116890 49.655457 76.843318
    Unten rechts KachelX + 1 83616 KachelY + 1 20476 0.86669915 1.34116890 49.658203 76.843318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34117981-1.34116890) × R
    1.09100000000861e-05 × 6371000     		dl = 69.5076100005487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34117981-1.34116890) × R
    1.09100000000861e-05 × 6371000     		dr = 69.5076100005487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86665121-0.86669915) × cos(1.34117981) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227604122071367 × 6371000     		do = 69.5161574106519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86665121-0.86669915) × cos(1.34116890) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227614745711222 × 6371000     		du = 69.5194021437162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34117981)-sin(1.34116890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227604122071367-0.227614745711222)×R²
    abs(0.86669915-0.86665121)×1.0623639855406e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0623639855406e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0623639855406e-05×40589641000000     		ar = 4832.01472494889m²