Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83614 / 20471
↖ ↑ ↗
← N 76.846442°
E 49.652710°		 ← 69.50 m → N 76.846442°
E 49.655457°		 →
↑
69.44 m
↓
↑
69.44 m
↓
N 76.845818°
E 49.652710°		 ← 69.51 m →
4 827 m²		 N 76.845818°
E 49.655457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637928009033203 y=0.156185150146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637928009033203 × 217)
    floor (0.637928009033203 × 131072)
    floor (83614.5)     		tx = 83614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156185150146484 × 217)
    floor (0.156185150146484 × 131072)
    floor (20471.5)     		ty = 20471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83614 / 20471 ti = "17/83614/20471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83614/20471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83614 ÷ 217
    83614 ÷ 131072     		x = 0.637924194335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20471 ÷ 217
    20471 ÷ 131072     		y = 0.156181335449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637924194335938 × 2 - 1) × π
    0.275848388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86660327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156181335449219 × 2 - 1) × π
    0.687637329101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.16027638137783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86660327} λ = 0.86660327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16027638137783))-π/2
    2×atan(8.67353453064702)-π/2
    2×1.4560098855755-π/2
    2.91201977115101-1.57079632675     		φ = 1.34122344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86660327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.652710°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34122344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.846442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83614 KachelY 20471 0.86660327 1.34122344 49.652710 76.846442
    Oben rechts KachelX + 1 83615 KachelY 20471 0.86665121 1.34122344 49.655457 76.846442
    Unten links KachelX 83614 KachelY + 1 20472 0.86660327 1.34121254 49.652710 76.845818
    Unten rechts KachelX + 1 83615 KachelY + 1 20472 0.86665121 1.34121254 49.655457 76.845818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34122344-1.34121254) × R
    1.09000000001469e-05 × 6371000     		dl = 69.4439000009359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34122344-1.34121254) × R
    1.09000000001469e-05 × 6371000     		dr = 69.4439000009359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86660327-0.86665121) × cos(1.34122344) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227561636978682 × 6371000     		do = 69.5031813697798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86660327-0.86665121) × cos(1.34121254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227572250989258 × 6371000     		du = 69.5064231618144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34122344)-sin(1.34121254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227561636978682-0.227572250989258)×R²
    abs(0.86665121-0.86660327)×1.06140105761987e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06140105761987e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06140105761987e-05×40589641000000     		ar = 4826.68453828365m²