Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83611 / 20316
↖ ↑ ↗
← N 76.942970°
E 49.644470°		 ← 69 m → N 76.942970°
E 49.647217°		 →
↑
69 m
↓
↑
69 m
↓
N 76.942350°
E 49.644470°		 ← 69.01 m →
4 761 m²		 N 76.942350°
E 49.647217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637905120849609 y=0.155002593994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637905120849609 × 217)
    floor (0.637905120849609 × 131072)
    floor (83611.5)     		tx = 83611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155002593994141 × 217)
    floor (0.155002593994141 × 131072)
    floor (20316.5)     		ty = 20316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83611 / 20316 ti = "17/83611/20316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83611/20316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83611 ÷ 217
    83611 ÷ 131072     		x = 0.637901306152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20316 ÷ 217
    20316 ÷ 131072     		y = 0.154998779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637901306152344 × 2 - 1) × π
    0.275802612304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.86645946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154998779296875 × 2 - 1) × π
    0.69000244140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16770660081894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86645946} λ = 0.86645946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16770660081894))-π/2
    2×atan(8.73822081458137)-π/2
    2×1.45685225056155-π/2
    2.91370450112309-1.57079632675     		φ = 1.34290817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86645946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.644470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34290817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.942970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83611 KachelY 20316 0.86645946 1.34290817 49.644470 76.942970
    Oben rechts KachelX + 1 83612 KachelY 20316 0.86650740 1.34290817 49.647217 76.942970
    Unten links KachelX 83611 KachelY + 1 20317 0.86645946 1.34289734 49.644470 76.942350
    Unten rechts KachelX + 1 83612 KachelY + 1 20317 0.86650740 1.34289734 49.647217 76.942350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34290817-1.34289734) × R
    1.08300000001282e-05 × 6371000     		dl = 68.997930000817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34290817-1.34289734) × R
    1.08300000001282e-05 × 6371000     		dr = 68.997930000817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86645946-0.86650740) × cos(1.34290817) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.225920785927076 × 6371000     		do = 69.0020232232735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86645946-0.86650740) × cos(1.34289734) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.225931335911501 × 6371000     		du = 69.0052454600733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34290817)-sin(1.34289734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225920785927076-0.225931335911501)×R²
    abs(0.86650740-0.86645946)×1.05499844243184e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.05499844243184e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.05499844243184e-05×40589641000000     		ar = 4761.10793208585m²