Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8361 / 24905
↖ ↑ ↗
← N 39.601456°
W134.071655°		 ← 470.66 m → N 39.601456°
W134.066162°		 →
↑
470.63 m
↓
↑
470.63 m
↓
N 39.597223°
W134.071655°		 ← 470.69 m →
221 511 m²		 N 39.597223°
W134.066162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127586364746094 y=0.380027770996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127586364746094 × 216)
    floor (0.127586364746094 × 65536)
    floor (8361.5)     		tx = 8361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380027770996094 × 216)
    floor (0.380027770996094 × 65536)
    floor (24905.5)     		ty = 24905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8361 / 24905 ti = "16/8361/24905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8361/24905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8361 ÷ 216
    8361 ÷ 65536     		x = 0.127578735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24905 ÷ 216
    24905 ÷ 65536     		y = 0.380020141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127578735351562 × 2 - 1) × π
    -0.744842529296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33999182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380020141601562 × 2 - 1) × π
    0.239959716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.753855683425003
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33999182} λ = -2.33999182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.753855683425003))-π/2
    2×atan(2.12517825470431)-π/2
    2×1.13098605989318-π/2
    2.26197211978636-1.57079632675     		φ = 0.69117579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33999182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.071655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69117579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.601456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8361 KachelY 24905 -2.33999182 0.69117579 -134.071655 39.601456
    Oben rechts KachelX + 1 8362 KachelY 24905 -2.33989594 0.69117579 -134.066162 39.601456
    Unten links KachelX 8361 KachelY + 1 24906 -2.33999182 0.69110192 -134.071655 39.597223
    Unten rechts KachelX + 1 8362 KachelY + 1 24906 -2.33989594 0.69110192 -134.066162 39.597223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69117579-0.69110192) × R
    7.38699999999204e-05 × 6371000     		dl = 470.625769999493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69117579-0.69110192) × R
    7.38699999999204e-05 × 6371000     		dr = 470.625769999493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33999182--2.33989594) × cos(0.69117579) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.770497047999218 × 6371000     		do = 470.659262105645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33999182--2.33989594) × cos(0.69110192) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.770544133853134 × 6371000     		du = 470.688024569196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69117579)-sin(0.69110192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770497047999218-0.770544133853134)×R²
    abs(-2.33989594--2.33999182)×4.70858539153296e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.70858539153296e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.70858539153296e-05×40589641000000     		ar = 221511.145915006m²