Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83608 / 20467
↖ ↑ ↗
← N 76.848942°
E 49.636230°		 ← 69.49 m → N 76.848942°
E 49.638977°		 →
↑
69.44 m
↓
↑
69.44 m
↓
N 76.848318°
E 49.636230°		 ← 69.49 m →
4 826 m²		 N 76.848318°
E 49.638977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637882232666016 y=0.156154632568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637882232666016 × 217)
    floor (0.637882232666016 × 131072)
    floor (83608.5)     		tx = 83608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156154632568359 × 217)
    floor (0.156154632568359 × 131072)
    floor (20467.5)     		ty = 20467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83608 / 20467 ti = "17/83608/20467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83608/20467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83608 ÷ 217
    83608 ÷ 131072     		x = 0.63787841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20467 ÷ 217
    20467 ÷ 131072     		y = 0.156150817871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63787841796875 × 2 - 1) × π
    0.2757568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.86631565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156150817871094 × 2 - 1) × π
    0.687698364257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.16046812897631
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86631565} λ = 0.86631565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16046812897631))-π/2
    2×atan(8.67519781952434)-π/2
    2×1.4560317007371-π/2
    2.91206340147419-1.57079632675     		φ = 1.34126707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86631565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.636230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34126707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.848942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83608 KachelY 20467 0.86631565 1.34126707 49.636230 76.848942
    Oben rechts KachelX + 1 83609 KachelY 20467 0.86636359 1.34126707 49.638977 76.848942
    Unten links KachelX 83608 KachelY + 1 20468 0.86631565 1.34125617 49.636230 76.848318
    Unten rechts KachelX + 1 83609 KachelY + 1 20468 0.86636359 1.34125617 49.638977 76.848318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34126707-1.34125617) × R
    1.08999999999249e-05 × 6371000     		dl = 69.4438999995213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34126707-1.34125617) × R
    1.08999999999249e-05 × 6371000     		dr = 69.4438999995213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86631565-0.86636359) × cos(1.34126707) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227519151452816 × 6371000     		do = 69.4902051966029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86631565-0.86636359) × cos(1.34125617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227529765571606 × 6371000     		du = 69.4934470216886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34126707)-sin(1.34125617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227519151452816-0.227529765571606)×R²
    abs(0.86636359-0.86631565)×1.06141187892206e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06141187892206e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06141187892206e-05×40589641000000     		ar = 4825.7834230767m²