Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83607 / 20469
↖ ↑ ↗
← N 76.847693°
E 49.633484°		 ← 69.50 m → N 76.847693°
E 49.636230°		 →
↑
69.51 m
↓
↑
69.51 m
↓
N 76.847068°
E 49.633484°		 ← 69.50 m →
4 831 m²		 N 76.847068°
E 49.636230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637874603271484 y=0.156169891357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637874603271484 × 217)
    floor (0.637874603271484 × 131072)
    floor (83607.5)     		tx = 83607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156169891357422 × 217)
    floor (0.156169891357422 × 131072)
    floor (20469.5)     		ty = 20469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83607 / 20469 ti = "17/83607/20469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83607/20469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83607 ÷ 217
    83607 ÷ 131072     		x = 0.637870788574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20469 ÷ 217
    20469 ÷ 131072     		y = 0.156166076660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637870788574219 × 2 - 1) × π
    0.275741577148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.86626771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156166076660156 × 2 - 1) × π
    0.687667846679688 × 3.1415926535     		Φ = 2.16037225517707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86626771} λ = 0.86626771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16037225517707))-π/2
    2×atan(8.67436613521922)-π/2
    2×1.45602079366546-π/2
    2.91204158733092-1.57079632675     		φ = 1.34124526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86626771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.633484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34124526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.847693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83607 KachelY 20469 0.86626771 1.34124526 49.633484 76.847693
    Oben rechts KachelX + 1 83608 KachelY 20469 0.86631565 1.34124526 49.636230 76.847693
    Unten links KachelX 83607 KachelY + 1 20470 0.86626771 1.34123435 49.633484 76.847068
    Unten rechts KachelX + 1 83608 KachelY + 1 20470 0.86631565 1.34123435 49.636230 76.847068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34124526-1.34123435) × R
    1.09100000000861e-05 × 6371000     		dl = 69.5076100005487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34124526-1.34123435) × R
    1.09100000000861e-05 × 6371000     		dr = 69.5076100005487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86626771-0.86631565) × cos(1.34124526) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227540389401049 × 6371000     		do = 69.4966918126579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86626771-0.86631565) × cos(1.34123435) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227551013203408 × 6371000     		du = 69.4999365953551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34124526)-sin(1.34123435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227540389401049-0.227551013203408)×R²
    abs(0.86631565-0.86626771)×1.0623802359333e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0623802359333e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0623802359333e-05×40589641000000     		ar = 4830.66171942053m²