Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83606 / 20502
↖ ↑ ↗
← N 76.827053°
E 49.630738°		 ← 69.59 m → N 76.827053°
E 49.633484°		 →
↑
69.57 m
↓
↑
69.57 m
↓
N 76.826427°
E 49.630738°		 ← 69.59 m →
4 842 m²		 N 76.826427°
E 49.633484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637866973876953 y=0.156421661376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637866973876953 × 217)
    floor (0.637866973876953 × 131072)
    floor (83606.5)     		tx = 83606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156421661376953 × 217)
    floor (0.156421661376953 × 131072)
    floor (20502.5)     		ty = 20502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83606 / 20502 ti = "17/83606/20502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83606/20502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83606 ÷ 217
    83606 ÷ 131072     		x = 0.637863159179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20502 ÷ 217
    20502 ÷ 131072     		y = 0.156417846679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637863159179688 × 2 - 1) × π
    0.275726318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.86621978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156417846679688 × 2 - 1) × π
    0.687164306640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.15879033748961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86621978} λ = 0.86621978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15879033748961))-π/2
    2×atan(8.66065484992409)-π/2
    2×1.45584067989648-π/2
    2.91168135979297-1.57079632675     		φ = 1.34088503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86621978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.630738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34088503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.827053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83606 KachelY 20502 0.86621978 1.34088503 49.630738 76.827053
    Oben rechts KachelX + 1 83607 KachelY 20502 0.86626771 1.34088503 49.633484 76.827053
    Unten links KachelX 83606 KachelY + 1 20503 0.86621978 1.34087411 49.630738 76.826427
    Unten rechts KachelX + 1 83607 KachelY + 1 20503 0.86626771 1.34087411 49.633484 76.826427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34088503-1.34087411) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dl = 69.5713200001615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34088503-1.34087411) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dr = 69.5713200001615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86621978-0.86626771) × cos(1.34088503) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.22789115530847 × 6371000     		do = 69.5893058040823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86621978-0.86626771) × cos(1.34087411) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.227901787952702 × 6371000     		du = 69.5925526099092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34088503)-sin(1.34087411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22789115530847-0.227901787952702)×R²
    abs(0.86626771-0.86621978)×1.06326442317617e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.06326442317617e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.06326442317617e-05×40589641000000     		ar = 4841.5328050942m²