Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83606 / 20466
↖ ↑ ↗
← N 76.849567°
E 49.630738°		 ← 69.47 m → N 76.849567°
E 49.633484°		 →
↑
69.51 m
↓
↑
69.51 m
↓
N 76.848942°
E 49.630738°		 ← 69.48 m →
4 829 m²		 N 76.848942°
E 49.633484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637866973876953 y=0.156147003173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637866973876953 × 217)
    floor (0.637866973876953 × 131072)
    floor (83606.5)     		tx = 83606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156147003173828 × 217)
    floor (0.156147003173828 × 131072)
    floor (20466.5)     		ty = 20466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83606 / 20466 ti = "17/83606/20466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83606/20466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83606 ÷ 217
    83606 ÷ 131072     		x = 0.637863159179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20466 ÷ 217
    20466 ÷ 131072     		y = 0.156143188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637863159179688 × 2 - 1) × π
    0.275726318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.86621978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156143188476562 × 2 - 1) × π
    0.687713623046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16051606587593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86621978} λ = 0.86621978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16051606587593))-π/2
    2×atan(8.67561369157912)-π/2
    2×1.45603715389107-π/2
    2.91207430778214-1.57079632675     		φ = 1.34127798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86621978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.630738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34127798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.849567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83606 KachelY 20466 0.86621978 1.34127798 49.630738 76.849567
    Oben rechts KachelX + 1 83607 KachelY 20466 0.86626771 1.34127798 49.633484 76.849567
    Unten links KachelX 83606 KachelY + 1 20467 0.86621978 1.34126707 49.630738 76.848942
    Unten rechts KachelX + 1 83607 KachelY + 1 20467 0.86626771 1.34126707 49.633484 76.848942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34127798-1.34126707) × R
    1.09100000000861e-05 × 6371000     		dl = 69.5076100005487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34127798-1.34126707) × R
    1.09100000000861e-05 × 6371000     		dr = 69.5076100005487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86621978-0.86626771) × cos(1.34127798) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.227508527569235 × 6371000     		do = 69.472465820895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86621978-0.86626771) × cos(1.34126707) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.227519151452816 × 6371000     		du = 69.475709951552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34127798)-sin(1.34126707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227508527569235-0.227519151452816)×R²
    abs(0.86626771-0.86621978)×1.06238835818062e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.06238835818062e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.06238835818062e-05×40589641000000     		ar = 4828.97780593486m²