Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83602 / 20462
↖ ↑ ↗
← N 76.852067°
E 49.619751°		 ← 69.47 m → N 76.852067°
E 49.622498°		 →
↑
69.44 m
↓
↑
69.44 m
↓
N 76.851442°
E 49.619751°		 ← 69.48 m →
4 825 m²		 N 76.851442°
E 49.622498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637836456298828 y=0.156116485595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637836456298828 × 217)
    floor (0.637836456298828 × 131072)
    floor (83602.5)     		tx = 83602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156116485595703 × 217)
    floor (0.156116485595703 × 131072)
    floor (20462.5)     		ty = 20462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83602 / 20462 ti = "17/83602/20462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83602/20462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83602 ÷ 217
    83602 ÷ 131072     		x = 0.637832641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20462 ÷ 217
    20462 ÷ 131072     		y = 0.156112670898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637832641601562 × 2 - 1) × π
    0.275665283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86602803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156112670898438 × 2 - 1) × π
    0.687774658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16070781347441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86602803} λ = 0.86602803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16070781347441))-π/2
    2×atan(8.67727737916878)-π/2
    2×1.45605896396163-π/2
    2.91211792792325-1.57079632675     		φ = 1.34132160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86602803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.619751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34132160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.852067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83602 KachelY 20462 0.86602803 1.34132160 49.619751 76.852067
    Oben rechts KachelX + 1 83603 KachelY 20462 0.86607597 1.34132160 49.622498 76.852067
    Unten links KachelX 83602 KachelY + 1 20463 0.86602803 1.34131070 49.619751 76.851442
    Unten rechts KachelX + 1 83603 KachelY + 1 20463 0.86607597 1.34131070 49.622498 76.851442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34132160-1.34131070) × R
    1.08999999999249e-05 × 6371000     		dl = 69.4438999995213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34132160-1.34131070) × R
    1.08999999999249e-05 × 6371000     		dr = 69.4438999995213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86602803-0.86607597) × cos(1.34132160) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.227466051239842 × 6371000     		do = 69.4739870249219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86602803-0.86607597) × cos(1.34131070) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.22747666549385 × 6371000     		du = 69.4772288913071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34132160)-sin(1.34131070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227466051239842-0.22747666549385)×R²
    abs(0.86607597-0.86602803)×1.06142540087506e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.06142540087506e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.06142540087506e-05×40589641000000     		ar = 4824.65717166206m²