Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83601 / 20481
↖ ↑ ↗
← N 76.840191°
E 49.617004°		 ← 69.54 m → N 76.840191°
E 49.619751°		 →
↑
69.51 m
↓
↑
69.51 m
↓
N 76.839566°
E 49.617004°		 ← 69.54 m →
4 833 m²		 N 76.839566°
E 49.619751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637828826904297 y=0.156261444091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637828826904297 × 217)
    floor (0.637828826904297 × 131072)
    floor (83601.5)     		tx = 83601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156261444091797 × 217)
    floor (0.156261444091797 × 131072)
    floor (20481.5)     		ty = 20481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83601 / 20481 ti = "17/83601/20481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83601/20481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83601 ÷ 217
    83601 ÷ 131072     		x = 0.637825012207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20481 ÷ 217
    20481 ÷ 131072     		y = 0.156257629394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637825012207031 × 2 - 1) × π
    0.275650024414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.86598009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156257629394531 × 2 - 1) × π
    0.687484741210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.15979701238163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86598009} λ = 0.86598009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15979701238163))-π/2
    2×atan(8.66937770351218)-π/2
    2×1.45595532984778-π/2
    2.91191065969556-1.57079632675     		φ = 1.34111433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86598009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.617004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34111433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.840191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83601 KachelY 20481 0.86598009 1.34111433 49.617004 76.840191
    Oben rechts KachelX + 1 83602 KachelY 20481 0.86602803 1.34111433 49.619751 76.840191
    Unten links KachelX 83601 KachelY + 1 20482 0.86598009 1.34110342 49.617004 76.839566
    Unten rechts KachelX + 1 83602 KachelY + 1 20482 0.86602803 1.34110342 49.619751 76.839566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34111433-1.34110342) × R
    1.09099999998641e-05 × 6371000     		dl = 69.5076099991341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34111433-1.34110342) × R
    1.09099999998641e-05 × 6371000     		dr = 69.5076099991341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86598009-0.86602803) × cos(1.34111433) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227667882978862 × 6371000     		do = 69.5356316330068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86598009-0.86602803) × cos(1.34110342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227678506456093 × 6371000     		du = 69.5388763164015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34111433)-sin(1.34110342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227667882978862-0.227678506456093)×R²
    abs(0.86602803-0.86598009)×1.06234772312419e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06234772312419e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06234772312419e-05×40589641000000     		ar = 4833.36832975745m²