Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83600 / 20400
↖ ↑ ↗
← N 76.890745°
E 49.614258°		 ← 69.27 m → N 76.890745°
E 49.617004°		 →
↑
69.25 m
↓
↑
69.25 m
↓
N 76.890123°
E 49.614258°		 ← 69.28 m →
4 797 m²		 N 76.890123°
E 49.617004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637821197509766 y=0.155643463134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637821197509766 × 217)
    floor (0.637821197509766 × 131072)
    floor (83600.5)     		tx = 83600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155643463134766 × 217)
    floor (0.155643463134766 × 131072)
    floor (20400.5)     		ty = 20400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83600 / 20400 ti = "17/83600/20400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83600/20400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83600 ÷ 217
    83600 ÷ 131072     		x = 0.6378173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20400 ÷ 217
    20400 ÷ 131072     		y = 0.1556396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6378173828125 × 2 - 1) × π
    0.275634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86593215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1556396484375 × 2 - 1) × π
    0.688720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16367990125085
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86593215} λ = 0.86593215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16367990125085))-π/2
    2×atan(8.70310537171848)-π/2
    2×1.45639649978962-π/2
    2.91279299957923-1.57079632675     		φ = 1.34199667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86593215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.614258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34199667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.890745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83600 KachelY 20400 0.86593215 1.34199667 49.614258 76.890745
    Oben rechts KachelX + 1 83601 KachelY 20400 0.86598009 1.34199667 49.617004 76.890745
    Unten links KachelX 83600 KachelY + 1 20401 0.86593215 1.34198580 49.614258 76.890123
    Unten rechts KachelX + 1 83601 KachelY + 1 20401 0.86598009 1.34198580 49.617004 76.890123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34199667-1.34198580) × R
    1.08699999998851e-05 × 6371000     		dl = 69.2527699992682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34199667-1.34198580) × R
    1.08699999998851e-05 × 6371000     		dr = 69.2527699992682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86593215-0.86598009) × cos(1.34199667) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226808625736861 × 6371000     		do = 69.2731923540182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86593215-0.86598009) × cos(1.34198580) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226819212444138 × 6371000     		du = 69.2764258069227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34199667)-sin(1.34198580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226808625736861-0.226819212444138)×R²
    abs(0.86598009-0.86593215)×1.05867072778265e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05867072778265e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05867072778265e-05×40589641000000     		ar = 4797.47241987619m²