Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8360 / 25016
↖ ↑ ↗
← N 39.130060°
W134.077148°		 ← 473.80 m → N 39.130060°
W134.071655°		 →
↑
473.87 m
↓
↑
473.87 m
↓
N 39.125799°
W134.077148°		 ← 473.83 m →
224 528 m²		 N 39.125799°
W134.071655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127571105957031 y=0.381721496582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127571105957031 × 216)
    floor (0.127571105957031 × 65536)
    floor (8360.5)     		tx = 8360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381721496582031 × 216)
    floor (0.381721496582031 × 65536)
    floor (25016.5)     		ty = 25016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8360 / 25016 ti = "16/8360/25016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8360/25016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8360 ÷ 216
    8360 ÷ 65536     		x = 0.1275634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25016 ÷ 216
    25016 ÷ 65536     		y = 0.3817138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1275634765625 × 2 - 1) × π
    -0.744873046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34008769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3817138671875 × 2 - 1) × π
    0.236572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.743213691709351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34008769} λ = -2.34008769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.743213691709351))-π/2
    2×atan(2.10268203990061)-π/2
    2×1.1268723572537-π/2
    2.25374471450741-1.57079632675     		φ = 0.68294839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34008769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.077148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68294839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.130060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8360 KachelY 25016 -2.34008769 0.68294839 -134.077148 39.130060
    Oben rechts KachelX + 1 8361 KachelY 25016 -2.33999182 0.68294839 -134.071655 39.130060
    Unten links KachelX 8360 KachelY + 1 25017 -2.34008769 0.68287401 -134.077148 39.125799
    Unten rechts KachelX + 1 8361 KachelY + 1 25017 -2.33999182 0.68287401 -134.071655 39.125799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68294839-0.68287401) × R
    7.43799999999295e-05 × 6371000     		dl = 473.874979999551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68294839-0.68287401) × R
    7.43799999999295e-05 × 6371000     		dr = 473.874979999551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34008769--2.33999182) × cos(0.68294839) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.775715414654103 × 6371000     		do = 473.797488271195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34008769--2.33999182) × cos(0.68287401) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.775762352452545 × 6371000     		du = 473.826157304434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68294839)-sin(0.68287401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775715414654103-0.775762352452545)×R²
    abs(-2.33999182--2.34008769)×4.69377984418928e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69377984418928e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69377984418928e-05×40589641000000     		ar = 224527.568150607m²