Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 836 / 787
↖ ↑ ↗
← S 69.037142°
E113.906250°		 ← 13.986 km → S 69.037142°
E114.257812°		 →
↑
13.946 km
↓
↑
13.946 km
↓
S 69.162558°
E113.906250°		 ← 13.906 km →
194.481 km²		 S 69.162558°
E114.257812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81689453125 y=0.76904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81689453125 × 210)
    floor (0.81689453125 × 1024)
    floor (836.5)     		tx = 836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76904296875 × 210)
    floor (0.76904296875 × 1024)
    floor (787.5)     		ty = 787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 836 / 787 ti = "10/836/787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/836/787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 836 ÷ 210
    836 ÷ 1024     		x = 0.81640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 787 ÷ 210
    787 ÷ 1024     		y = 0.7685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81640625 × 2 - 1) × π
    0.6328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98803910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7685546875 × 2 - 1) × π
    -0.537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68737886662598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98803910} λ = 1.98803910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68737886662598))-π/2
    2×atan(0.185003808685605)-π/2
    2×0.182935448879356-π/2
    0.365870897758712-1.57079632675     		φ = -1.20492543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98803910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20492543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.037142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 836 KachelY 787 1.98803910 -1.20492543 113.906250 -69.037142
    Oben rechts KachelX + 1 837 KachelY 787 1.99417502 -1.20492543 114.257812 -69.037142
    Unten links KachelX 836 KachelY + 1 788 1.98803910 -1.20711435 113.906250 -69.162558
    Unten rechts KachelX + 1 837 KachelY + 1 788 1.99417502 -1.20711435 114.257812 -69.162558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20492543--1.20711435) × R
    0.00218891999999982 × 6371000     		dl = 13945.6093199988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20492543--1.20711435) × R
    0.00218891999999982 × 6371000     		dr = 13945.6093199988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98803910-1.99417502) × cos(-1.20492543) × R
    0.00613591999999996 × 0.357762684397617 × 6371000     		do = 13985.6396537707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98803910-1.99417502) × cos(-1.20711435) × R
    0.00613591999999996 × 0.355717787996262 × 6371000     		du = 13905.7006734189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20492543)-sin(-1.20711435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357762684397617-0.355717787996262)×R²
    abs(1.99417502-1.98803910)×0.00204489640135497×R²
    0.00613591999999996×0.00204489640135497×6371000²
    0.00613591999999996×0.00204489640135497×40589641000000     		ar = 194480945.459589m²