Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 836 / 171
↖ ↑ ↗
← N 81.646927°
W 33.046875°		 ← 2 839.51 m → N 81.646927°
W 32.871093°		 →
↑
2 843.82 m
↓
↑
2 843.82 m
↓
N 81.621352°
W 33.046875°		 ← 2 848.14 m →
8 087 328 m²		 N 81.621352°
W 32.871093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408447265625 y=0.083740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408447265625 × 211)
    floor (0.408447265625 × 2048)
    floor (836.5)     		tx = 836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.083740234375 × 211)
    floor (0.083740234375 × 2048)
    floor (171.5)     		ty = 171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 836 / 171 ti = "11/836/171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/836/171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 836 ÷ 211
    836 ÷ 2048     		x = 0.408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 171 ÷ 211
    171 ÷ 2048     		y = 0.08349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408203125 × 2 - 1) × π
    -0.18359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.57677678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08349609375 × 2 - 1) × π
    0.8330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.61697122405811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57677678} λ = -0.57677678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61697122405811))-π/2
    2×atan(13.6941840945988)-π/2
    2×1.49790201110527-π/2
    2.99580402221054-1.57079632675     		φ = 1.42500770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57677678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.046875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42500770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.646927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 836 KachelY 171 -0.57677678 1.42500770 -33.046875 81.646927
    Oben rechts KachelX + 1 837 KachelY 171 -0.57370881 1.42500770 -32.871093 81.646927
    Unten links KachelX 836 KachelY + 1 172 -0.57677678 1.42456133 -33.046875 81.621352
    Unten rechts KachelX + 1 837 KachelY + 1 172 -0.57370881 1.42456133 -32.871093 81.621352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42500770-1.42456133) × R
    0.00044637000000014 × 6371000     		dl = 2843.82327000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42500770-1.42456133) × R
    0.00044637000000014 × 6371000     		dr = 2843.82327000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57677678--0.57370881) × cos(1.42500770) × R
    0.00306797000000003 × 0.145272735568472 × 6371000     		do = 2839.50624562713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57677678--0.57370881) × cos(1.42456133) × R
    0.00306797000000003 × 0.145714355831018 × 6371000     		du = 2848.1381715614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42500770)-sin(1.42456133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145272735568472-0.145714355831018)×R²
    abs(-0.57370881--0.57677678)×0.000441620262546266×R²
    0.00306797000000003×0.000441620262546266×6371000²
    0.00306797000000003×0.000441620262546266×40589641000000     		ar = 8087327.90682m²