Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83598 / 20322
↖ ↑ ↗
← N 76.939247°
E 49.608765°		 ← 69.02 m → N 76.939247°
E 49.611511°		 →
↑
69.06 m
↓
↑
69.06 m
↓
N 76.938626°
E 49.608765°		 ← 69.02 m →
4 767 m²		 N 76.938626°
E 49.611511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637805938720703 y=0.155048370361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637805938720703 × 217)
    floor (0.637805938720703 × 131072)
    floor (83598.5)     		tx = 83598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155048370361328 × 217)
    floor (0.155048370361328 × 131072)
    floor (20322.5)     		ty = 20322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83598 / 20322 ti = "17/83598/20322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83598/20322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83598 ÷ 217
    83598 ÷ 131072     		x = 0.637802124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20322 ÷ 217
    20322 ÷ 131072     		y = 0.155044555664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637802124023438 × 2 - 1) × π
    0.275604248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86583628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155044555664062 × 2 - 1) × π
    0.689910888671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16741897942122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86583628} λ = 0.86583628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16741897942122))-π/2
    2×atan(8.73570787670177)-π/2
    2×1.45681975618406-π/2
    2.91363951236811-1.57079632675     		φ = 1.34284319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86583628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.608765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34284319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.939247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83598 KachelY 20322 0.86583628 1.34284319 49.608765 76.939247
    Oben rechts KachelX + 1 83599 KachelY 20322 0.86588422 1.34284319 49.611511 76.939247
    Unten links KachelX 83598 KachelY + 1 20323 0.86583628 1.34283235 49.608765 76.938626
    Unten rechts KachelX + 1 83599 KachelY + 1 20323 0.86588422 1.34283235 49.611511 76.938626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34284319-1.34283235) × R
    1.08400000000675e-05 × 6371000     		dl = 69.0616400004298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34284319-1.34283235) × R
    1.08400000000675e-05 × 6371000     		dr = 69.0616400004298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86583628-0.86588422) × cos(1.34284319) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225984085436108 × 6371000     		do = 69.0213565225013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86583628-0.86588422) × cos(1.34283235) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225994645002804 × 6371000     		du = 69.0245816859735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34284319)-sin(1.34283235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225984085436108-0.225994645002804)×R²
    abs(0.86588422-0.86583628)×1.05595666957115e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05595666957115e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05595666957115e-05×40589641000000     		ar = 4766.8394442008m²