Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83597 / 20037
↖ ↑ ↗
← N 77.114970°
E 49.606018°		 ← 68.11 m → N 77.114970°
E 49.608765°		 →
↑
68.11 m
↓
↑
68.11 m
↓
N 77.114358°
E 49.606018°		 ← 68.11 m →
4 639 m²		 N 77.114358°
E 49.608765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637798309326172 y=0.152873992919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637798309326172 × 217)
    floor (0.637798309326172 × 131072)
    floor (83597.5)     		tx = 83597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152873992919922 × 217)
    floor (0.152873992919922 × 131072)
    floor (20037.5)     		ty = 20037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83597 / 20037 ti = "17/83597/20037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83597/20037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83597 ÷ 217
    83597 ÷ 131072     		x = 0.637794494628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20037 ÷ 217
    20037 ÷ 131072     		y = 0.152870178222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637794494628906 × 2 - 1) × π
    0.275588989257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.86578834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152870178222656 × 2 - 1) × π
    0.694259643554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.18108099581293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86578834} λ = 0.86578834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18108099581293))-π/2
    2×atan(8.85587424929365)-π/2
    2×1.45835322612725-π/2
    2.9167064522545-1.57079632675     		φ = 1.34591013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86578834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.606018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34591013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.114970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83597 KachelY 20037 0.86578834 1.34591013 49.606018 77.114970
    Oben rechts KachelX + 1 83598 KachelY 20037 0.86583628 1.34591013 49.608765 77.114970
    Unten links KachelX 83597 KachelY + 1 20038 0.86578834 1.34589944 49.606018 77.114358
    Unten rechts KachelX + 1 83598 KachelY + 1 20038 0.86583628 1.34589944 49.608765 77.114358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34591013-1.34589944) × R
    1.06900000000909e-05 × 6371000     		dl = 68.1059900005792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34591013-1.34589944) × R
    1.06900000000909e-05 × 6371000     		dr = 68.1059900005792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86578834-0.86583628) × cos(1.34591013) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22299542599354 × 6371000     		do = 68.1085430006476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86578834-0.86583628) × cos(1.34589944) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223005846801157 × 6371000     		du = 68.1117257835254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34591013)-sin(1.34589944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22299542599354-0.223005846801157)×R²
    abs(0.86583628-0.86578834)×1.0420807616901e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0420807616901e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0420807616901e-05×40589641000000     		ar = 4638.70813177035m²