Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83594 / 20324
↖ ↑ ↗
← N 76.938006°
E 49.597778°		 ← 69.03 m → N 76.938006°
E 49.600525°		 →
↑
69.06 m
↓
↑
69.06 m
↓
N 76.937385°
E 49.597778°		 ← 69.03 m →
4 767 m²		 N 76.937385°
E 49.600525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637775421142578 y=0.155063629150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637775421142578 × 217)
    floor (0.637775421142578 × 131072)
    floor (83594.5)     		tx = 83594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155063629150391 × 217)
    floor (0.155063629150391 × 131072)
    floor (20324.5)     		ty = 20324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83594 / 20324 ti = "17/83594/20324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83594/20324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83594 ÷ 217
    83594 ÷ 131072     		x = 0.637771606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20324 ÷ 217
    20324 ÷ 131072     		y = 0.155059814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637771606445312 × 2 - 1) × π
    0.275543212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86564453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155059814453125 × 2 - 1) × π
    0.68988037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16732310562198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86564453} λ = 0.86564453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16732310562198))-π/2
    2×atan(8.73487039134567)-π/2
    2×1.45680892270155-π/2
    2.9136178454031-1.57079632675     		φ = 1.34282152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86564453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.597778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34282152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.938006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83594 KachelY 20324 0.86564453 1.34282152 49.597778 76.938006
    Oben rechts KachelX + 1 83595 KachelY 20324 0.86569247 1.34282152 49.600525 76.938006
    Unten links KachelX 83594 KachelY + 1 20325 0.86564453 1.34281068 49.597778 76.937385
    Unten rechts KachelX + 1 83595 KachelY + 1 20325 0.86569247 1.34281068 49.600525 76.937385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34282152-1.34281068) × R
    1.08400000000675e-05 × 6371000     		dl = 69.0616400004298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34282152-1.34281068) × R
    1.08400000000675e-05 × 6371000     		dr = 69.0616400004298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86564453-0.86569247) × cos(1.34282152) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.226005194801683 × 6371000     		do = 69.0278038662628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86564453-0.86569247) × cos(1.34281068) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.226015754315291 × 6371000     		du = 69.0310290135205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34282152)-sin(1.34281068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226005194801683-0.226015754315291)×R²
    abs(0.86569247-0.86564453)×1.05595136077052e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.05595136077052e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.05595136077052e-05×40589641000000     		ar = 4767.28470766951m²