Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83593 / 20325
↖ ↑ ↗
← N 76.937385°
E 49.595032°		 ← 69.02 m → N 76.937385°
E 49.597778°		 →
↑
69 m
↓
↑
69 m
↓
N 76.936764°
E 49.595032°		 ← 69.02 m →
4 762 m²		 N 76.936764°
E 49.597778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637767791748047 y=0.155071258544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637767791748047 × 217)
    floor (0.637767791748047 × 131072)
    floor (83593.5)     		tx = 83593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155071258544922 × 217)
    floor (0.155071258544922 × 131072)
    floor (20325.5)     		ty = 20325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83593 / 20325 ti = "17/83593/20325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83593/20325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83593 ÷ 217
    83593 ÷ 131072     		x = 0.637763977050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20325 ÷ 217
    20325 ÷ 131072     		y = 0.155067443847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637763977050781 × 2 - 1) × π
    0.275527954101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.86559660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155067443847656 × 2 - 1) × π
    0.689865112304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.16727516872236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86559660} λ = 0.86559660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16727516872236))-π/2
    2×atan(8.7344516787765)-π/2
    2×1.45680350558087-π/2
    2.91360701116174-1.57079632675     		φ = 1.34281068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86559660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.595032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34281068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.937385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83593 KachelY 20325 0.86559660 1.34281068 49.595032 76.937385
    Oben rechts KachelX + 1 83594 KachelY 20325 0.86564453 1.34281068 49.597778 76.937385
    Unten links KachelX 83593 KachelY + 1 20326 0.86559660 1.34279985 49.595032 76.936764
    Unten rechts KachelX + 1 83594 KachelY + 1 20326 0.86564453 1.34279985 49.597778 76.936764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34281068-1.34279985) × R
    1.08299999999062e-05 × 6371000     		dl = 68.9979299994023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34281068-1.34279985) × R
    1.08299999999062e-05 × 6371000     		dr = 68.9979299994023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86559660-0.86564453) × cos(1.34281068) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.226015754315291 × 6371000     		do = 69.0166295495808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86559660-0.86564453) × cos(1.34279985) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.226026304061128 × 6371000     		du = 69.0198510413857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34281068)-sin(1.34279985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226015754315291-0.226026304061128)×R²
    abs(0.86564453-0.86559660)×1.05497458374459e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.05497458374459e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.05497458374459e-05×40589641000000     		ar = 4762.1157127398m²