Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83592 / 20327
↖ ↑ ↗
← N 76.936143°
E 49.592285°		 ← 69.04 m → N 76.936143°
E 49.595032°		 →
↑
69 m
↓
↑
69 m
↓
N 76.935523°
E 49.592285°		 ← 69.04 m →
4 764 m²		 N 76.935523°
E 49.595032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637760162353516 y=0.155086517333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637760162353516 × 217)
    floor (0.637760162353516 × 131072)
    floor (83592.5)     		tx = 83592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155086517333984 × 217)
    floor (0.155086517333984 × 131072)
    floor (20327.5)     		ty = 20327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83592 / 20327 ti = "17/83592/20327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83592/20327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83592 ÷ 217
    83592 ÷ 131072     		x = 0.63775634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20327 ÷ 217
    20327 ÷ 131072     		y = 0.155082702636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63775634765625 × 2 - 1) × π
    0.2755126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86554866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155082702636719 × 2 - 1) × π
    0.689834594726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.16717929492312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86554866} λ = 0.86554866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16717929492312))-π/2
    2×atan(8.73361431385109)-π/2
    2×1.4567926705806-π/2
    2.9135853411612-1.57079632675     		φ = 1.34278901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86554866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.592285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34278901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.936143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83592 KachelY 20327 0.86554866 1.34278901 49.592285 76.936143
    Oben rechts KachelX + 1 83593 KachelY 20327 0.86559660 1.34278901 49.595032 76.936143
    Unten links KachelX 83592 KachelY + 1 20328 0.86554866 1.34277818 49.592285 76.935523
    Unten rechts KachelX + 1 83593 KachelY + 1 20328 0.86559660 1.34277818 49.595032 76.935523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34278901-1.34277818) × R
    1.08299999999062e-05 × 6371000     		dl = 68.9979299994023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34278901-1.34277818) × R
    1.08299999999062e-05 × 6371000     		dr = 68.9979299994023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86554866-0.86559660) × cos(1.34278901) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.226036863521643 × 6371000     		do = 69.0374763084914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86554866-0.86559660) × cos(1.34277818) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.226047413214434 × 6371000     		du = 69.0406984562189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34278901)-sin(1.34277818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226036863521643-0.226047413214434)×R²
    abs(0.86559660-0.86554866)×1.05496927909898e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.05496927909898e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.05496927909898e-05×40589641000000     		ar = 4763.55411845154m²