Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83592 / 20323
↖ ↑ ↗
← N 76.938626°
E 49.592285°		 ← 69.02 m → N 76.938626°
E 49.595032°		 →
↑
69 m
↓
↑
69 m
↓
N 76.938006°
E 49.592285°		 ← 69.03 m →
4 763 m²		 N 76.938006°
E 49.595032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637760162353516 y=0.155055999755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637760162353516 × 217)
    floor (0.637760162353516 × 131072)
    floor (83592.5)     		tx = 83592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155055999755859 × 217)
    floor (0.155055999755859 × 131072)
    floor (20323.5)     		ty = 20323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83592 / 20323 ti = "17/83592/20323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83592/20323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83592 ÷ 217
    83592 ÷ 131072     		x = 0.63775634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20323 ÷ 217
    20323 ÷ 131072     		y = 0.155052185058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63775634765625 × 2 - 1) × π
    0.2755126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86554866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155052185058594 × 2 - 1) × π
    0.689895629882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.1673710425216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86554866} λ = 0.86554866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1673710425216))-π/2
    2×atan(8.7352891239871)-π/2
    2×1.45681433956927-π/2
    2.91362867913855-1.57079632675     		φ = 1.34283235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86554866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.592285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34283235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.938626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83592 KachelY 20323 0.86554866 1.34283235 49.592285 76.938626
    Oben rechts KachelX + 1 83593 KachelY 20323 0.86559660 1.34283235 49.595032 76.938626
    Unten links KachelX 83592 KachelY + 1 20324 0.86554866 1.34282152 49.592285 76.938006
    Unten rechts KachelX + 1 83593 KachelY + 1 20324 0.86559660 1.34282152 49.595032 76.938006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34283235-1.34282152) × R
    1.08299999999062e-05 × 6371000     		dl = 68.9979299994023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34283235-1.34282152) × R
    1.08299999999062e-05 × 6371000     		dr = 68.9979299994023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86554866-0.86559660) × cos(1.34283235) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.225994645002804 × 6371000     		do = 69.0245816861333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86554866-0.86559660) × cos(1.34282152) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.226005194801683 × 6371000     		du = 69.0278038662628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34283235)-sin(1.34282152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225994645002804-0.226005194801683)×R²
    abs(0.86559660-0.86554866)×1.05497988789893e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.05497988789893e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.05497988789893e-05×40589641000000     		ar = 4762.66441722075m²