Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8359 / 25048
↖ ↑ ↗
← N 38.993572°
W134.082642°		 ← 474.76 m → N 38.993572°
W134.077148°		 →
↑
474.77 m
↓
↑
474.77 m
↓
N 38.989302°
W134.082642°		 ← 474.79 m →
225 409 m²		 N 38.989302°
W134.077148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127555847167969 y=0.382209777832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127555847167969 × 216)
    floor (0.127555847167969 × 65536)
    floor (8359.5)     		tx = 8359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382209777832031 × 216)
    floor (0.382209777832031 × 65536)
    floor (25048.5)     		ty = 25048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8359 / 25048 ti = "16/8359/25048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8359/25048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8359 ÷ 216
    8359 ÷ 65536     		x = 0.127548217773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25048 ÷ 216
    25048 ÷ 65536     		y = 0.3822021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127548217773438 × 2 - 1) × π
    -0.744903564453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34018357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3822021484375 × 2 - 1) × π
    0.235595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.740145730133667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34018357} λ = -2.34018357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.740145730133667))-π/2
    2×atan(2.09624097771411)-π/2
    2×1.12568127315394-π/2
    2.25136254630787-1.57079632675     		φ = 0.68056622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34018357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.082642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68056622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.993572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8359 KachelY 25048 -2.34018357 0.68056622 -134.082642 38.993572
    Oben rechts KachelX + 1 8360 KachelY 25048 -2.34008769 0.68056622 -134.077148 38.993572
    Unten links KachelX 8359 KachelY + 1 25049 -2.34018357 0.68049170 -134.082642 38.989302
    Unten rechts KachelX + 1 8360 KachelY + 1 25049 -2.34008769 0.68049170 -134.077148 38.989302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68056622-0.68049170) × R
    7.45199999999668e-05 × 6371000     		dl = 474.766919999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68056622-0.68049170) × R
    7.45199999999668e-05 × 6371000     		dr = 474.766919999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34018357--2.34008769) × cos(0.68056622) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.777216558937011 × 6371000     		do = 474.763885309068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34018357--2.34008769) × cos(0.68049170) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.777263447237032 × 6371000     		du = 474.79252709653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68056622)-sin(0.68049170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777216558937011-0.777263447237032)×R²
    abs(-2.34008769--2.34018357)×4.68883000207532e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.68883000207532e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.68883000207532e-05×40589641000000     		ar = 225408.986746038m²