Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8359 / 24878
↖ ↑ ↗
← N 39.715638°
W134.082642°		 ← 469.88 m → N 39.715638°
W134.077148°		 →
↑
469.86 m
↓
↑
469.86 m
↓
N 39.711413°
W134.082642°		 ← 469.91 m →
220 786 m²		 N 39.711413°
W134.077148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127555847167969 y=0.379615783691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127555847167969 × 216)
    floor (0.127555847167969 × 65536)
    floor (8359.5)     		tx = 8359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379615783691406 × 216)
    floor (0.379615783691406 × 65536)
    floor (24878.5)     		ty = 24878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8359 / 24878 ti = "16/8359/24878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8359/24878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8359 ÷ 216
    8359 ÷ 65536     		x = 0.127548217773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24878 ÷ 216
    24878 ÷ 65536     		y = 0.379608154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127548217773438 × 2 - 1) × π
    -0.744903564453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34018357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379608154296875 × 2 - 1) × π
    0.24078369140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.756444276004486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34018357} λ = -2.34018357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.756444276004486))-π/2
    2×atan(2.13068660172176)-π/2
    2×1.13198248838054-π/2
    2.26396497676108-1.57079632675     		φ = 0.69316865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34018357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.082642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69316865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.715638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8359 KachelY 24878 -2.34018357 0.69316865 -134.082642 39.715638
    Oben rechts KachelX + 1 8360 KachelY 24878 -2.34008769 0.69316865 -134.077148 39.715638
    Unten links KachelX 8359 KachelY + 1 24879 -2.34018357 0.69309490 -134.082642 39.711413
    Unten rechts KachelX + 1 8360 KachelY + 1 24879 -2.34008769 0.69309490 -134.077148 39.711413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69316865-0.69309490) × R
    7.37500000000946e-05 × 6371000     		dl = 469.861250000603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69316865-0.69309490) × R
    7.37500000000946e-05 × 6371000     		dr = 469.861250000603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34018357--2.34008769) × cos(0.69316865) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.769225183045869 × 6371000     		do = 469.882341518708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34018357--2.34008769) × cos(0.69309490) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.769272305566002 × 6371000     		du = 469.911126379873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69316865)-sin(0.69309490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769225183045869-0.769272305566002)×R²
    abs(-2.34008769--2.34018357)×4.71225201335024e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.71225201335024e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.71225201335024e-05×40589641000000     		ar = 220786.266884923m²