Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83582 / 20040
↖ ↑ ↗
← N 77.113132°
E 49.564819°		 ← 68.12 m → N 77.113132°
E 49.567566°		 →
↑
68.11 m
↓
↑
68.11 m
↓
N 77.112520°
E 49.564819°		 ← 68.12 m →
4 639 m²		 N 77.112520°
E 49.567566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637683868408203 y=0.152896881103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637683868408203 × 217)
    floor (0.637683868408203 × 131072)
    floor (83582.5)     		tx = 83582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152896881103516 × 217)
    floor (0.152896881103516 × 131072)
    floor (20040.5)     		ty = 20040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83582 / 20040 ti = "17/83582/20040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83582/20040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83582 ÷ 217
    83582 ÷ 131072     		x = 0.637680053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20040 ÷ 217
    20040 ÷ 131072     		y = 0.15289306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637680053710938 × 2 - 1) × π
    0.275360107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86506929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15289306640625 × 2 - 1) × π
    0.6942138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18093718511407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86506929} λ = 0.86506929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18093718511407))-π/2
    2×atan(8.85460077140091)-π/2
    2×1.45833719043892-π/2
    2.91667438087784-1.57079632675     		φ = 1.34587805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86506929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.564819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34587805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.113132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83582 KachelY 20040 0.86506929 1.34587805 49.564819 77.113132
    Oben rechts KachelX + 1 83583 KachelY 20040 0.86511723 1.34587805 49.567566 77.113132
    Unten links KachelX 83582 KachelY + 1 20041 0.86506929 1.34586736 49.564819 77.112520
    Unten rechts KachelX + 1 83583 KachelY + 1 20041 0.86511723 1.34586736 49.567566 77.112520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34587805-1.34586736) × R
    1.06900000000909e-05 × 6371000     		dl = 68.1059900005792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34587805-1.34586736) × R
    1.06900000000909e-05 × 6371000     		dr = 68.1059900005792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86506929-0.86511723) × cos(1.34587805) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22302669808806 × 6371000     		do = 68.1180943032577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86506929-0.86511723) × cos(1.34586736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223037118819197 × 6371000     		du = 68.1212770627765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34587805)-sin(1.34586736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22302669808806-0.223037118819197)×R²
    abs(0.86511723-0.86506929)×1.04207311367455e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04207311367455e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04207311367455e-05×40589641000000     		ar = 4639.35863206061m²