Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83580 / 20043
↖ ↑ ↗
← N 77.111295°
E 49.559326°		 ← 68.11 m → N 77.111295°
E 49.562073°		 →
↑
68.11 m
↓
↑
68.11 m
↓
N 77.110682°
E 49.559326°		 ← 68.12 m →
4 639 m²		 N 77.110682°
E 49.562073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637668609619141 y=0.152919769287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637668609619141 × 217)
    floor (0.637668609619141 × 131072)
    floor (83580.5)     		tx = 83580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152919769287109 × 217)
    floor (0.152919769287109 × 131072)
    floor (20043.5)     		ty = 20043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83580 / 20043 ti = "17/83580/20043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83580/20043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83580 ÷ 217
    83580 ÷ 131072     		x = 0.637664794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20043 ÷ 217
    20043 ÷ 131072     		y = 0.152915954589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637664794921875 × 2 - 1) × π
    0.27532958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.86497342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152915954589844 × 2 - 1) × π
    0.694168090820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.18079337441521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86497342} λ = 0.86497342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18079337441521))-π/2
    2×atan(8.85332747663474)-π/2
    2×1.45832115250241-π/2
    2.91664230500482-1.57079632675     		φ = 1.34584598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86497342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.559326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34584598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.111295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83580 KachelY 20043 0.86497342 1.34584598 49.559326 77.111295
    Oben rechts KachelX + 1 83581 KachelY 20043 0.86502135 1.34584598 49.562073 77.111295
    Unten links KachelX 83580 KachelY + 1 20044 0.86497342 1.34583529 49.559326 77.110682
    Unten rechts KachelX + 1 83581 KachelY + 1 20044 0.86502135 1.34583529 49.562073 77.110682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34584598-1.34583529) × R
    1.06900000000909e-05 × 6371000     		dl = 68.1059900005792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34584598-1.34583529) × R
    1.06900000000909e-05 × 6371000     		dr = 68.1059900005792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86497342-0.86502135) × cos(1.34584598) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.223057960205006 × 6371000     		do = 68.1134315359014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86497342-0.86502135) × cos(1.34583529) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.223068380859675 × 6371000     		du = 68.1166136081654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34584598)-sin(1.34583529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223057960205006-0.223068380859675)×R²
    abs(0.86502135-0.86497342)×1.04206546697738e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04206546697738e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04206546697738e-05×40589641000000     		ar = 4639.04104637348m²