Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8358 / 24910
↖ ↑ ↗
← N 39.580290°
W134.088135°		 ← 470.75 m → N 39.580290°
W134.082642°		 →
↑
470.75 m
↓
↑
470.75 m
↓
N 39.576056°
W134.088135°		 ← 470.78 m →
221 616 m²		 N 39.576056°
W134.082642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127540588378906 y=0.380104064941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127540588378906 × 216)
    floor (0.127540588378906 × 65536)
    floor (8358.5)     		tx = 8358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380104064941406 × 216)
    floor (0.380104064941406 × 65536)
    floor (24910.5)     		ty = 24910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8358 / 24910 ti = "16/8358/24910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8358/24910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8358 ÷ 216
    8358 ÷ 65536     		x = 0.127532958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24910 ÷ 216
    24910 ÷ 65536     		y = 0.380096435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127532958984375 × 2 - 1) × π
    -0.74493408203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34027944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380096435546875 × 2 - 1) × π
    0.23980712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.753376314428802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34027944} λ = -2.34027944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.753376314428802))-π/2
    2×atan(2.12415975427588)-π/2
    2×1.13080135548091-π/2
    2.26160271096182-1.57079632675     		φ = 0.69080638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34027944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.088135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69080638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.580290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8358 KachelY 24910 -2.34027944 0.69080638 -134.088135 39.580290
    Oben rechts KachelX + 1 8359 KachelY 24910 -2.34018357 0.69080638 -134.082642 39.580290
    Unten links KachelX 8358 KachelY + 1 24911 -2.34027944 0.69073249 -134.088135 39.576056
    Unten rechts KachelX + 1 8359 KachelY + 1 24911 -2.34018357 0.69073249 -134.082642 39.576056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69080638-0.69073249) × R
    7.38900000000209e-05 × 6371000     		dl = 470.753190000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69080638-0.69073249) × R
    7.38900000000209e-05 × 6371000     		dr = 470.753190000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34027944--2.34018357) × cos(0.69080638) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.770732473448887 × 6371000     		do = 470.753968724419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34027944--2.34018357) × cos(0.69073249) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.770779551015419 × 6371000     		du = 470.782723126299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69080638)-sin(0.69073249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770732473448887-0.770779551015419)×R²
    abs(-2.34018357--2.34027944)×4.70775665322165e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70775665322165e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70775665322165e-05×40589641000000     		ar = 221615.700696612m²