Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8358 / 24886
↖ ↑ ↗
← N 39.681826°
W134.088135°		 ← 470.06 m → N 39.681826°
W134.082642°		 →
↑
470.12 m
↓
↑
470.12 m
↓
N 39.677598°
W134.088135°		 ← 470.09 m →
220 991 m²		 N 39.677598°
W134.082642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127540588378906 y=0.379737854003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127540588378906 × 216)
    floor (0.127540588378906 × 65536)
    floor (8358.5)     		tx = 8358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379737854003906 × 216)
    floor (0.379737854003906 × 65536)
    floor (24886.5)     		ty = 24886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8358 / 24886 ti = "16/8358/24886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8358/24886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8358 ÷ 216
    8358 ÷ 65536     		x = 0.127532958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24886 ÷ 216
    24886 ÷ 65536     		y = 0.379730224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127532958984375 × 2 - 1) × π
    -0.74493408203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34027944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379730224609375 × 2 - 1) × π
    0.24053955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.755677285610565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34027944} λ = -2.34027944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.755677285610565))-π/2
    2×atan(2.12905301211964)-π/2
    2×1.13168742193595-π/2
    2.2633748438719-1.57079632675     		φ = 0.69257852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34027944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.088135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69257852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.681826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8358 KachelY 24886 -2.34027944 0.69257852 -134.088135 39.681826
    Oben rechts KachelX + 1 8359 KachelY 24886 -2.34018357 0.69257852 -134.082642 39.681826
    Unten links KachelX 8358 KachelY + 1 24887 -2.34027944 0.69250473 -134.088135 39.677598
    Unten rechts KachelX + 1 8359 KachelY + 1 24887 -2.34018357 0.69250473 -134.082642 39.677598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69257852-0.69250473) × R
    7.37899999999625e-05 × 6371000     		dl = 470.116089999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69257852-0.69250473) × R
    7.37899999999625e-05 × 6371000     		dr = 470.116089999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34027944--2.34018357) × cos(0.69257852) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.769602129045314 × 6371000     		do = 470.063568186829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34027944--2.34018357) × cos(0.69250473) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.769649243616611 × 6371000     		du = 470.092345190766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69257852)-sin(0.69250473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769602129045314-0.769649243616611)×R²
    abs(-2.34018357--2.34027944)×4.71145712973575e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71145712973575e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71145712973575e-05×40589641000000     		ar = 220991.211093901m²