Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8357 / 24885
↖ ↑ ↗
← N 39.686053°
W134.093628°		 ← 470.03 m → N 39.686053°
W134.088135°		 →
↑
470.05 m
↓
↑
470.05 m
↓
N 39.681826°
W134.093628°		 ← 470.06 m →
220 948 m²		 N 39.681826°
W134.088135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127525329589844 y=0.379722595214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127525329589844 × 216)
    floor (0.127525329589844 × 65536)
    floor (8357.5)     		tx = 8357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379722595214844 × 216)
    floor (0.379722595214844 × 65536)
    floor (24885.5)     		ty = 24885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8357 / 24885 ti = "16/8357/24885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8357/24885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8357 ÷ 216
    8357 ÷ 65536     		x = 0.127517700195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24885 ÷ 216
    24885 ÷ 65536     		y = 0.379714965820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127517700195312 × 2 - 1) × π
    -0.744964599609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34037531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379714965820312 × 2 - 1) × π
    0.240570068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.755773159409805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34037531} λ = -2.34037531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.755773159409805))-π/2
    2×atan(2.1292571423059)-π/2
    2×1.1317243131468-π/2
    2.2634486262936-1.57079632675     		φ = 0.69265230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34037531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.093628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69265230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.686053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8357 KachelY 24885 -2.34037531 0.69265230 -134.093628 39.686053
    Oben rechts KachelX + 1 8358 KachelY 24885 -2.34027944 0.69265230 -134.088135 39.686053
    Unten links KachelX 8357 KachelY + 1 24886 -2.34037531 0.69257852 -134.093628 39.681826
    Unten rechts KachelX + 1 8358 KachelY + 1 24886 -2.34027944 0.69257852 -134.088135 39.681826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69265230-0.69257852) × R
    7.37800000000233e-05 × 6371000     		dl = 470.052380000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69265230-0.69257852) × R
    7.37800000000233e-05 × 6371000     		dr = 470.052380000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34037531--2.34027944) × cos(0.69265230) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.769555016669366 × 6371000     		do = 470.034792523785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34037531--2.34027944) × cos(0.69257852) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.769602129045314 × 6371000     		du = 470.063568186829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69265230)-sin(0.69257852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769555016669366-0.769602129045314)×R²
    abs(-2.34027944--2.34037531)×4.71123759480108e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71123759480108e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71123759480108e-05×40589641000000     		ar = 220947.736043528m²