Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8355 / 24913
↖ ↑ ↗
← N 39.567588°
W134.104614°		 ← 470.84 m → N 39.567588°
W134.099121°		 →
↑
470.82 m
↓
↑
470.82 m
↓
N 39.563353°
W134.104614°		 ← 470.87 m →
221 686 m²		 N 39.563353°
W134.099121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127494812011719 y=0.380149841308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127494812011719 × 216)
    floor (0.127494812011719 × 65536)
    floor (8355.5)     		tx = 8355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380149841308594 × 216)
    floor (0.380149841308594 × 65536)
    floor (24913.5)     		ty = 24913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8355 / 24913 ti = "16/8355/24913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8355/24913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8355 ÷ 216
    8355 ÷ 65536     		x = 0.127487182617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24913 ÷ 216
    24913 ÷ 65536     		y = 0.380142211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127487182617188 × 2 - 1) × π
    -0.745025634765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34056706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380142211914062 × 2 - 1) × π
    0.239715576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.753088693031082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34056706} λ = -2.34056706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.753088693031082))-π/2
    2×atan(2.12354888833164)-π/2
    2×1.13069050574968-π/2
    2.26138101149936-1.57079632675     		φ = 0.69058468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34056706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.104614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69058468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.567588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8355 KachelY 24913 -2.34056706 0.69058468 -134.104614 39.567588
    Oben rechts KachelX + 1 8356 KachelY 24913 -2.34047119 0.69058468 -134.099121 39.567588
    Unten links KachelX 8355 KachelY + 1 24914 -2.34056706 0.69051078 -134.104614 39.563353
    Unten rechts KachelX + 1 8356 KachelY + 1 24914 -2.34047119 0.69051078 -134.099121 39.563353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69058468-0.69051078) × R
    7.38999999999601e-05 × 6371000     		dl = 470.816899999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69058468-0.69051078) × R
    7.38999999999601e-05 × 6371000     		dr = 470.816899999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34056706--2.34047119) × cos(0.69058468) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.770873712633117 × 6371000     		do = 470.840235890792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34056706--2.34047119) × cos(0.69051078) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.77092078394173 × 6371000     		du = 470.868986470411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69058468)-sin(0.69051078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770873712633117-0.77092078394173)×R²
    abs(-2.34047119--2.34056706)×4.70713086131447e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70713086131447e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70713086131447e-05×40589641000000     		ar = 221686.308487873m²