Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83544 / 20056
↖ ↑ ↗
← N 77.103328°
E 49.460449°		 ← 68.17 m → N 77.103328°
E 49.463196°		 →
↑
68.17 m
↓
↑
68.17 m
↓
N 77.102714°
E 49.460449°		 ← 68.17 m →
4 647 m²		 N 77.102714°
E 49.463196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637393951416016 y=0.153018951416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637393951416016 × 217)
    floor (0.637393951416016 × 131072)
    floor (83544.5)     		tx = 83544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153018951416016 × 217)
    floor (0.153018951416016 × 131072)
    floor (20056.5)     		ty = 20056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83544 / 20056 ti = "17/83544/20056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83544/20056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83544 ÷ 217
    83544 ÷ 131072     		x = 0.63739013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20056 ÷ 217
    20056 ÷ 131072     		y = 0.15301513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63739013671875 × 2 - 1) × π
    0.2747802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.86324769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15301513671875 × 2 - 1) × π
    0.6939697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.18017019472015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86324769} λ = 0.86324769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18017019472015))-π/2
    2×atan(8.84781198146838)-π/2
    2×1.45825162879133-π/2
    2.91650325758265-1.57079632675     		φ = 1.34570693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86324769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.460449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34570693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.103328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83544 KachelY 20056 0.86324769 1.34570693 49.460449 77.103328
    Oben rechts KachelX + 1 83545 KachelY 20056 0.86329563 1.34570693 49.463196 77.103328
    Unten links KachelX 83544 KachelY + 1 20057 0.86324769 1.34569623 49.460449 77.102714
    Unten rechts KachelX + 1 83545 KachelY + 1 20057 0.86329563 1.34569623 49.463196 77.102714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34570693-1.34569623) × R
    1.07000000000301e-05 × 6371000     		dl = 68.169700000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34570693-1.34569623) × R
    1.07000000000301e-05 × 6371000     		dr = 68.169700000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86324769-0.86329563) × cos(1.34570693) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223193504708976 × 6371000     		do = 68.1690413388879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86324769-0.86329563) × cos(1.34569623) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223203934779692 × 6371000     		du = 68.1722269509544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34570693)-sin(1.34569623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223193504708976-0.223203934779692)×R²
    abs(0.86329563-0.86324769)×1.04300707156335e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04300707156335e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04300707156335e-05×40589641000000     		ar = 4647.17167849035m²