Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8354 / 7587
↖ ↑ ↗
← N 79.778240°
W134.110107°		 ← 108.39 m → N 79.778240°
W134.104614°		 →
↑
108.37 m
↓
↑
108.37 m
↓
N 79.777265°
W134.110107°		 ← 108.40 m →
11 747 m²		 N 79.777265°
W134.104614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127479553222656 y=0.115776062011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127479553222656 × 216)
    floor (0.127479553222656 × 65536)
    floor (8354.5)     		tx = 8354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115776062011719 × 216)
    floor (0.115776062011719 × 65536)
    floor (7587.5)     		ty = 7587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8354 / 7587 ti = "16/8354/7587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8354/7587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8354 ÷ 216
    8354 ÷ 65536     		x = 0.127471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7587 ÷ 216
    7587 ÷ 65536     		y = 0.115768432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.74505615234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34066293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115768432617188 × 2 - 1) × π
    0.768463134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41419813866527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34066293} λ = -2.34066293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41419813866527))-π/2
    2×atan(11.1808013098053)-π/2
    2×1.48159464517922-π/2
    2.96318929035844-1.57079632675     		φ = 1.39239296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34066293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.110107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39239296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.778240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8354 KachelY 7587 -2.34066293 1.39239296 -134.110107 79.778240
    Oben rechts KachelX + 1 8355 KachelY 7587 -2.34056706 1.39239296 -134.104614 79.778240
    Unten links KachelX 8354 KachelY + 1 7588 -2.34066293 1.39237595 -134.110107 79.777265
    Unten rechts KachelX + 1 8355 KachelY + 1 7588 -2.34056706 1.39237595 -134.104614 79.777265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39239296-1.39237595) × R
    1.7010000000095e-05 × 6371000     		dl = 108.370710000605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39239296-1.39237595) × R
    1.7010000000095e-05 × 6371000     		dr = 108.370710000605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34066293--2.34056706) × cos(1.39239296) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177458508390283 × 6371000     		do = 108.389486607225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34066293--2.34056706) × cos(1.39237595) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177475248386706 × 6371000     		du = 108.39971119231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39239296)-sin(1.39237595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177458508390283-0.177475248386706)×R²
    abs(-2.34056706--2.34066293)×1.67399964236536e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67399964236536e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67399964236536e-05×40589641000000     		ar = 11746.7996432343m²