Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8354 / 25019
↖ ↑ ↗
← N 39.117276°
W134.110107°		 ← 473.88 m → N 39.117276°
W134.104614°		 →
↑
473.94 m
↓
↑
473.94 m
↓
N 39.113014°
W134.110107°		 ← 473.91 m →
224 599 m²		 N 39.113014°
W134.104614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127479553222656 y=0.381767272949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127479553222656 × 216)
    floor (0.127479553222656 × 65536)
    floor (8354.5)     		tx = 8354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381767272949219 × 216)
    floor (0.381767272949219 × 65536)
    floor (25019.5)     		ty = 25019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8354 / 25019 ti = "16/8354/25019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8354/25019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8354 ÷ 216
    8354 ÷ 65536     		x = 0.127471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25019 ÷ 216
    25019 ÷ 65536     		y = 0.381759643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.74505615234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34066293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381759643554688 × 2 - 1) × π
    0.236480712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.74292607031163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34066293} λ = -2.34066293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.74292607031163))-π/2
    2×atan(2.1020773505183)-π/2
    2×1.12676079095347-π/2
    2.25352158190693-1.57079632675     		φ = 0.68272526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34066293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.110107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68272526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.117276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8354 KachelY 25019 -2.34066293 0.68272526 -134.110107 39.117276
    Oben rechts KachelX + 1 8355 KachelY 25019 -2.34056706 0.68272526 -134.104614 39.117276
    Unten links KachelX 8354 KachelY + 1 25020 -2.34066293 0.68265087 -134.110107 39.113014
    Unten rechts KachelX + 1 8355 KachelY + 1 25020 -2.34056706 0.68265087 -134.104614 39.113014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68272526-0.68265087) × R
    7.43899999999798e-05 × 6371000     		dl = 473.938689999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68272526-0.68265087) × R
    7.43899999999798e-05 × 6371000     		dr = 473.938689999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34066293--2.34056706) × cos(0.68272526) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.775856208864625 × 6371000     		do = 473.883483653068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34066293--2.34056706) × cos(0.68265087) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.775903140095939 × 6371000     		du = 473.912148675186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68272526)-sin(0.68265087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775856208864625-0.775903140095939)×R²
    abs(-2.34056706--2.34066293)×4.69312313140513e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69312313140513e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69312313140513e-05×40589641000000     		ar = 224598.51029022m²