Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83524 / 20654
↖ ↑ ↗
← N 76.731575°
E 49.405518°		 ← 70.10 m → N 76.731575°
E 49.408264°		 →
↑
70.08 m
↓
↑
70.08 m
↓
N 76.730945°
E 49.405518°		 ← 70.10 m →
4 913 m²		 N 76.730945°
E 49.408264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637241363525391 y=0.157581329345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637241363525391 × 217)
    floor (0.637241363525391 × 131072)
    floor (83524.5)     		tx = 83524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157581329345703 × 217)
    floor (0.157581329345703 × 131072)
    floor (20654.5)     		ty = 20654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83524 / 20654 ti = "17/83524/20654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83524/20654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83524 ÷ 217
    83524 ÷ 131072     		x = 0.637237548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20654 ÷ 217
    20654 ÷ 131072     		y = 0.157577514648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637237548828125 × 2 - 1) × π
    0.27447509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86228895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157577514648438 × 2 - 1) × π
    0.684844970703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15150392874736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86228895} λ = 0.86228895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15150392874736))-π/2
    2×atan(8.59777912600584)-π/2
    2×1.45500747406865-π/2
    2.91001494813729-1.57079632675     		φ = 1.33921862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86228895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.405518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33921862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.731575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83524 KachelY 20654 0.86228895 1.33921862 49.405518 76.731575
    Oben rechts KachelX + 1 83525 KachelY 20654 0.86233689 1.33921862 49.408264 76.731575
    Unten links KachelX 83524 KachelY + 1 20655 0.86228895 1.33920762 49.405518 76.730945
    Unten rechts KachelX + 1 83525 KachelY + 1 20655 0.86233689 1.33920762 49.408264 76.730945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33921862-1.33920762) × R
    1.09999999999832e-05 × 6371000     		dl = 70.0809999998933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33921862-1.33920762) × R
    1.09999999999832e-05 × 6371000     		dr = 70.0809999998933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86228895-0.86233689) × cos(1.33921862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.229513399249197 × 6371000     		do = 70.0992998055555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86228895-0.86233689) × cos(1.33920762) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22952410559583 × 6371000     		du = 70.1025697993985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33921862)-sin(1.33920762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229513399249197-0.22952410559583)×R²
    abs(0.86233689-0.86228895)×1.07063466324997e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07063466324997e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07063466324997e-05×40589641000000     		ar = 4912.74361200892m²