Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83523 / 20680
↖ ↑ ↗
← N 76.715175°
E 49.402771°		 ← 70.18 m → N 76.715175°
E 49.405518°		 →
↑
70.14 m
↓
↑
70.14 m
↓
N 76.714544°
E 49.402771°		 ← 70.19 m →
4 923 m²		 N 76.714544°
E 49.405518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637233734130859 y=0.157779693603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637233734130859 × 217)
    floor (0.637233734130859 × 131072)
    floor (83523.5)     		tx = 83523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157779693603516 × 217)
    floor (0.157779693603516 × 131072)
    floor (20680.5)     		ty = 20680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83523 / 20680 ti = "17/83523/20680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83523/20680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83523 ÷ 217
    83523 ÷ 131072     		x = 0.637229919433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20680 ÷ 217
    20680 ÷ 131072     		y = 0.15777587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637229919433594 × 2 - 1) × π
    0.274459838867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.86224101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15777587890625 × 2 - 1) × π
    0.6844482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15025756935724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86224101} λ = 0.86224101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15025756935724))-π/2
    2×atan(8.58706987842992)-π/2
    2×1.45486435919331-π/2
    2.90972871838661-1.57079632675     		φ = 1.33893239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86224101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.402771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33893239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.715175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83523 KachelY 20680 0.86224101 1.33893239 49.402771 76.715175
    Oben rechts KachelX + 1 83524 KachelY 20680 0.86228895 1.33893239 49.405518 76.715175
    Unten links KachelX 83523 KachelY + 1 20681 0.86224101 1.33892138 49.402771 76.714544
    Unten rechts KachelX + 1 83524 KachelY + 1 20681 0.86228895 1.33892138 49.405518 76.714544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33893239-1.33892138) × R
    1.10100000001445e-05 × 6371000     		dl = 70.1447100009207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33893239-1.33892138) × R
    1.10100000001445e-05 × 6371000     		dr = 70.1447100009207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86224101-0.86228895) × cos(1.33893239) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.229791979077391 × 6371000     		do = 70.1843852558933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86224101-0.86228895) × cos(1.33892138) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.229802694433311 × 6371000     		du = 70.1876580014045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33893239)-sin(1.33892138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229791979077391-0.229802694433311)×R²
    abs(0.86228895-0.86224101)×1.07153559197881e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.07153559197881e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.07153559197881e-05×40589641000000     		ar = 4923.17813319302m²